Fonctions harmoniques vérifiant une certaine propriété

[Ouimet21]

Bonjour,

J'aimerais trouver toutes les fonctions harmoniques telles que .

Je dirais intuitivement que ce sont seulement les fonctions de la forme:
telles que
mais je ne sais pas comment le montrer.

Mon intuition me dit que la solution est soit liée au théorème de Green-Gauss ou bien aux équations de Cauchy-Riemann.

Merci de votre aide!

[mr_pyer]

.

Tu voulais certainement écrire pour ?

[Ben314]

Salut,
Les fonctions harmonique sur tout entier (qui est simplement connexe) ne sont autres que les parties réelles des fonctions holomorphe et ton problème revient à chercher les fonctions holomorphes telles que la partie réelle de f'(z) soit tout le temps supérieur à la partie imaginaire de f'(z).
Or, si f'(z) n'est pas constante, elle prend toutes les valeurs sauf au plus une (petit théorème de picard) donc ne peut vérifier une telle contrainte.

[mr_pyer]

Ton problème revient à chercher les fonctions holomorphes telles que la partie réelle de f'(z) soit tout le temps supérieur à la partie imaginaire de f'(z).

J'aurais plutôt dit telle que mais ça ne change pas grand chose.

Par contre le petit théorème de Picard est un peu trop fort non ? Puisqu'il est immédiat que l'image d'une fonction entière est dense dans .

Désolé d'écrire un post juste pour ça :we:

[Ouimet21]

Salut,
Les fonctions harmonique sur tout entier (qui est simplement connexe) ne sont autres que les parties réelles des fonctions holomorphe et ton problème revient à chercher les fonctions holomorphes telles que la partie réelle de f'(z) soit tout le temps supérieur à la partie imaginaire de f'(z).
Or, si f'(z) n'est pas constante, elle prend toutes les valeurs sauf au plus une (petit théorème de picard) donc ne peut vérifier une telle contrainte.

Tu dis donc qu'il n'y a aucune fonction qui vérifie une telle propriété? Les fonctions avec fonctionnent clairement pourtant.

Bien sûr, , cette notation est standard (voir le livre de Evans par exemple). Similairement,

Attention aussi, la fonction , alors on peut seulement dire que u est la partie réelle OU imaginaire d'une fonction holomorphe. Alors la condition : "ton problème revient à chercher les fonctions holomorphes telles que la partie réelle de f'(z) soit tout le temps supérieur à la partie imaginaire de f'(z)" ne fait pas de sens.

[mr_pyer]

Regarde bien, Ben314 parle de f'. Les seules fonctions entières qui loupent 2 points sont les constantes. Tu en déduis que f'=cste...

[Ouimet21]

Ok merci beaucoup, j'avais mal comprit la solution

[Ben314]

Par contre le petit théorème de Picard est un peu trop fort non ? Puisqu'il est immédiat que l'image d'une fonction entière est dense dans .

Tout à fait... (encore que, partant juste de la définition de fonction entières, ce n'est pas totalement immédiat non plus...)

Attention aussi, la fonction , alors on peut seulement dire que u est la partie réelle OU imaginaire d'une fonction

C'est pas faux, MAIS on peut aussi dire (et c'est un peu plus fort) que si f est harmonique, c'est la partie réelle d'une fonction holomorphe f (ainsi que la partie imaginaire de la fonction holomorphe ..)