Fonctions harmoniques

[egan]

Salut,
J'ai cherché à déterminer les fonctions harmoniques de dans .
Soit une fonction de dans .
J'ai trouvé un changement de variables qui marche bien.
C'est celui là.
Soit de dans telle que:

Alors est harmonique si et seulement si:

Si je me suis pas planté, au final on trouve que est harmonique si et seulement si:


Ca me paraît bizarre que ne soit pas . Vous en pensez quoi ?
Merci beaucoup d'avance.
@+ Boris.

[egan]

Personne ?

[egan]

Je vous mets ce que j'ai fait:
est harmonique équivaut successivement à:

[egan]

Toujours personne ?

[Doraki]

Pourquoi tu dis que ;) est C1 ? C'est la différence de deux fonctions C² donc elle devrait être C².

[egan]

J'ai un problème quand j'arrive à la troisième ligne de mon raisonnement.
Normalement, quand on a une équation comme ça:

On tombe sur

Ca je suis sûr que c'est vrai. Mais quand je l'applique à la troisième ligne pour passer à la quatrième ligne, ça ne marche pas et je ne vois pas pourquoi. Je dois mal l'appliquer.

[Doraki]

Encore une fois tu as un C1 totalement arbitraire dans la proposition.
Rien ne dit dans tes hypothèses que dh/dy existe et donc que ton ;) soit dérivable.

Tu veux dire :
Si h : C*C -> C est Cn, et si dh/dx = 0 alors il existe g : C -> C, Cn, telle que
pour tout x et y, h(x,y) = g(y).

Si tu pars de l'hypothèse que f est C² et que d²f/dxdy = 0,
Tu l'appliques à h = df/dx, qui est C1.
dh/dy = 0 donc tu obtiens ;):C -> C telle que df/dx = ;)(x), et ;) est C1
Tu prends une primitive quelconque ;) de ;), ;) est C2.

Ensuite, tu appliques la proposition à h(x,y) = f(x,y)-;)(x), qui est C2.
dh/dx = df/dx-d;)/dx = df/dx-;) = 0, donc tu obtiens ;):C -> C, C2, telle que
h(x,y) = ;)(y), c'est à dire f(x,y) = ;)(x)+;)(y).

;) et ;) sont bien C2.

[egan]

Ah d'accord. Merci.