Fonctions de classe C^n

[Anonyme]

Bonjour
f est une fonction C^n+1 telle que: f(0)=f'(0)=f"(0)=...=f^(n+1)(0)=0
g est une fonction definie sur un intervalle I contenant 0 par g(x)=f(x)/x.
Il s'agit de montrer que g est C^n sur I.
J'yarrive sur I/{0} mais pas sur I.
Help!
Merci

[hans]

Raisonne par récurrence sur n, montrer que g est C^n revient à montrer que g' est C^n-1 ce qui se fait facilement en explicitant la dérivée et en utilisant l'hypothèse de récurrence. (Il faudra tout de meme que tu rajoutes dans les hypothèses de récurrence g(0)=g'(0)=...=0)

[Anonyme]

Oui en fait, j'ai omis la donnée g(0)=0 donnée par l'énoncé.
Mais cmt sait-on que g'(0)=...=0??
Merci

[hans]

Tu ne le sais pas parfois il faut savoir deviner certaines choses:
Enfin il suffit d'écrire pour obtenir et en identifiant les développements limités tu obtiens ce que je t'ai dit.
En fait on est obligé de démontrer ca pour pouvoir appliquer l'hypothèse de récurrence à

Rassure-toi ce n'est pas une question facile elle était dans le début du problème X 1988 P'.

[yos]

Bonjour.
Les hypothèses incitent à utiliser Taylor-Young et on trouve comme l'a dit Hans :
f(x)=o(x^(n+1)),
donc g(x)=o(x^n), pour x ---> 0.

Cela n'entraîne directement pas la classe Cn de g . Il n'y a pas de réciproque à T-Y excepté pour n=1.

On doit donc y-aller plus doucement.
Comme l'a dit dragon, le fait que g est de classe Cn sur I-{0} est clair, et compte tenu de la comparaison g(x)=o(x^n), pour x ---> 0, on est sûr que toutes les dérivées de g ont pour limite 0 en 0. (*)

Le théorème des accroissements finis s'applique à g entre 0 et x car celui-ci nécessite seulement la dérivabilité sur l'intervalle ouvert et la continuité sur l'intervalle fermé (ce qu'on a d'après (*)). Il s'ensuit que |g(x)/x|

[tµtµ]

Salut,


Avec Taylor avec reste intégral c'est direct

[yos]

Salut,


Avec Taylor avec reste intégral c'est direct

...?
Mais si tu le dis.

[Anonyme]

Bonsoir
Cmt de g(x)=o(x^n) vous en deduisez que les derivees de g en 0 sont nulles. Sait-on que g admet 1 DL à l'ordre n pour pouvoir identifier??

[yos]

L'écriture g(x)=o(x^n) EST un dl de g en 0 à l'ordre n.
Par contre, comme je le signalai, ça n'entraine pas l'existence des dérivées en 0. Pas question d'identifier. Il y a plein d'exemples classiques.

[yos]

Ca y est j'ai retrouvé mon contre-exemple : .
f admet un dl d'ordre 9 en 0 car f(x)=o(x^9), et pourtant f n'est pas deux fois dérivable en 0.

[Anonyme]

Alors cmt es-tu sur que ttes les derivees ont pour limite 0 en 0??

[yos]

Ca c'est assez clair.
g(x)=o(x^n) donc g(x)=x^n u(x) (avec lim u(x)=0).
Et aussi, u est Cn sur I-{0} (quotient de deux Cn).
Les dérivées de g calculées à partir de cette expression ont une puissance de x en facteur. D'où la limite annoncée.

Il me semble que pour l'ensemble de la preuve je n'ai pas fait d'erreur. Y-a-t-il plus simple, je ne sais pas. Avec Taylor plus reste intégral je ne vois pas.