Fonctions Analytiques

[2piOmega]

Bonjour,

Je cherche à montrer que la fonction est analytique dans . La seule chose vraiment vu en cours est que f est analytique signifie que pour tout point z il existe un disque ouvert tel que f(z) est développable en série entière dans ce disque. J'ai cherché si je pouvais trouver la "forme" de an mais sans succès.... Dois ton vraiment cherché à exprimer an ?? Si non quelle technique peut-on employer????

Merci

[mathelot]

bonsoir

avec

[Lostounet]

Salut,

Avez-vous vu l'équivalence entre être analytique et être une fonction holomorphe? Donc dérivable sur un domaine de C et être analytique sont deux faits équivalents.

[2piOmega]

Merci à vous deux pour les réponses.
Je ne comprend pas très bien ta réponse mathelot .
En fait le cours associe l'objet fonction analytique à fonction holomorphe comme si c'était la même chose, est-ce cela où il y a une différence entre les 2? Sinon la dérivabilité était donné comme une implication : "Si f est analytique dans D alors elle admet une dérivée en tout point D"

[Ben314]

Salut,

La seule chose vraiment vu en cours est que f est analytique signifie que pour tout point z il existe un disque ouvert tel que f(z) est développable en série entière dans ce disque. J'ai cherché si je pouvais trouver la "forme" de an mais sans succès....

Vu ton laïus, autant je pense que tu as pas encore vu l'équivalence dont parle Lostounet (Analytique <=> C-dérivable), autant je pense que vous avez commencé à faire un chapitre sur les séries entière complexes, et ça m'étonnerais que tu n'ai pas vu qu'une fonction définie par une série entière (de rayon de c.v. non nul), elle est en fait indéfiniment dérivable et que le coeff. dont tu parle, c'est .

En bref, il me semble que la "forme" de , normalement, tu aurais du savoir ce que c'était...
(par contre, il faut quand même montrer que la série a un rayon de C.V. non nul et qu'elle converge bien vers 1/z dans le disque de convergence)

[mathelot]

Merci à vous deux pour les réponses.
Je ne comprend pas très bien ta réponse mathelot .
En fait le cours associe l'objet fonction analytique à fonction holomorphe comme si c'était la même chose, est-ce cela où il y a une différence entre les 2? Sinon la dérivabilité était donné comme une implication : "Si f est analytique dans D alors elle admet une dérivée en tout point D"

j'ai écrit le DSE de qui est aussi la série de Taylor de la fonction
en utilisant le développement de

[Ben314]

P.S.
Je précise (et j'aurais du le faire dans le précédent post) que la méthode proposée par Mathelot est de très loin la plus rapide : Exactement comme pour les développement limités (ou d'autres trucs), le plus rapide pour obtenir le développement en série entière d'une fonction, c'est de se ramener à un "cas connu" et là, le "cas connu", il l'est quasiment depuis la terminale vu que la somme des z^n c'est la somme des termes d'une suite géométrique.

Ce que je proposait quand à moi, c'est de rester "au plus proche" du cours.
On te demande "z->1/z est-elle analytique ?", c'est à dire admet-elle un D.S.E = développement en série entière (sous entendu "avec rayon de c.v. non nul") en tout point z0 de son ensemble de définition ?
Et là, je pense que ton cours te dit que, vu que toute fonction admettant un D.S.E. est forcément indéfiniment dérivable, le premier truc à vérifier, c'est que z->1/z l'est.
Ensuite ton cours doit aussi te dire que, si f = somme a_n (z-zo)^n, alors a_n =f^(n)(zo)/n! ce qui peut te conduire à regarder si la dérivée n-ième de z->1/z est facile à exprimer (et elle l'est) puis à regarder combien vaut f^(n)(zo)/n! vu que tu sait que, si la fonction admet un D.S.E., ça ne peut être que celui avec a_n =f^(n)(zo)/n!
Évidement, si on procède de cette façon, il reste à vérifier que la série somme a_n (z-zo)^n [avec a_n =f^(n)(zo)/n!] a effectivement un rayon de c.v. non nul et qu'elle converge bien vers 1/z à l'intérieur du disque de c.v. [mais c'est de nouveau évident vu qu'il s'avère que c'est en fait la somme des termes d'une suite géométrique].