Fonctione concaves convexes et suites

[maths0805]

Bonjour, je viens vous demander de l'aide sur un exercice.

Dans la partie A j'ai :
F est une fonction concave sur I, a∈I : d(x) = f(x) - f'(a)(x-a) - f(a)

1. J'ai montré que d est dérivable 2 fois sur I et que d''(x) = f''(x).

2. J'ai montré que d''(x) est négatif, donc que d' est décroissante.

3. J'ai calculé d'(a) qui vaut 0 donc j'en ai déduis que d est croissante puis décroissante à partir de a.

4. (c'est là où je ne sais pas comment faire)
Je dois justifier que f(x) ≤ f'(a)(x-a) + f(a) et je ne vois pas comment débuter..

Dans la partie 2 j'ai :
f(x) = ln (1+x) sur ]-1;+infini[

5. J'ai f croissante et l'équation de tangente en abscisse 0 : y= x

6. J'ai fait la courbe ainsi que sa tangente.

7. J'ai montré que f est concave.

8. Sur [0;+infini[ : x-(x²/2) ≤ ln (1+x) ≤ x (je l'ai prouvé)

On a : Rn = ∑ (k=1 à n) k
Sn = ∑ (k=1 à n) k²
Vn = ∑ (k=1 à n) ln(1 + k/n²)

9. Sur N* : (Rn/n²) - (Sn/2n^4) ≤ Vn ≤ (Rn/n²) (je l'ai montré)

10. (Pas réussi) Déterminer la limite de Vn en +inf (je me doute qu'il faut utiliser le théorème des gendarmes avec l'encadrement précédent mais je n'arrive pas à déterminer les limites)

11. (Pas réussie comme je n'ai pas la réponse précédente) En déduire que la suite un = (k=1 à n) (1+ k/ n²)

Merci d'avance !

[Pseuda]

Bonjour,

Ben pour la partie A, la fonction d atteint donc un maximum en a, soit pour tout x dans I, d(x)<=d(a).

[maths0805]

Ah d'accord c'est tout, je crois que j'ai cherché à me compliquer la vie.. Merci !

[ Réponse 4 résolue, il reste la 10 et la 11 ]

[pascal16]

4. (c'est là où je ne sais pas comment faire)
Je dois justifier que f(x) ≤ f'(a)(x-a) + f(a) et je ne vois pas comment débuter..

f concave sur I <=> f est en dessous de sa tangente pour tout point a de I

f'(a)(x-a) + f(a) est la tangente en a à f

10. (Rn/n²) = ∑ k²/n² : somme de Riemann ?

[maths0805]

Je n'ai pas vu la somme de Riemann, en quoi cela consiste svp ?

4. (c'est là où je ne sais pas comment faire)
Je dois justifier que f(x) ≤ f'(a)(x-a) + f(a) et je ne vois pas comment débuter..

f concave sur I <=> f est en dessous de sa tangente pour tout point a de I

f'(a)(x-a) + f(a) est la tangente en a à f

10. (Rn/n²) = ∑ k²/n² : somme de Riemann ?

[pascal16]

erreur de ma part entre S et R
∑ (k=1 à n) k = n(n+1)/2
limite évidente quand on le divise par n²

Sn = ∑ (k=1 à n) k²=n(n+1)(2n+1)/6
limite évidente quand on le divise par 2n^4

∏ (k=1 à n) (1+ k/ n²).

si ce produit existe, il est positif, je peux prendre son ln
ln ∏ (k=1 à n) (1+ k/ n²). = ∑ln (1+ k/ n²)
et on revient au produit par un exp

pour le Riemann :
soit f(x) =x²
on peut approcher son intégrale entre 0 et 1 par des rectangles de largeur 1/n, leur hauteur est de (k/n)²
on a alors ∑(1/n)*(k/n)² tend vers l'intégrale entre 0 et 1 de x² soit 1/3.
∑ (k=1 à n) k²=n(n+1)(2n+1)/6 = n³ /3 +n²/2+n/6
∑ (k=1 à n) k²/ n³ tends bien vers 1/3
c'est une forme (1/n)*f(k/n) qu'il faut remarquer