Fonction

[Anonyme]

Bonjour, j'essaye de faire des exos pour commencer à bien me préparer pour la rentrée mais je bloque sur celui ci pourriez vous m'aider?
Merci


Exercice 2 Soit / la fonction
numérique définie sur [1, +oo[ par la relation

F(t)=e^t/t

1. (a) Montrer que la fonction f est
strictement croissante.

(b) En déduire que,
pour tout nombre entier naturel non nul n,

e^n/n<=intf(t)dt
de n à n+1<=e^(n+1)/n+1
Montrer que l'equation
e^x/x=int f(t)dt de n à n+1 admet une solution et une seule dans l'intervalle [n ;n+1]
On notera Un cette solution ce qui définit la suite (Un) n>0

2. a Montrer
que pour tout nombre entier naturel non nul p, 0<=intf(t)dt de 1 à 2 -(1/p)sumf(1+k/p)
de k=0 à p-1<=(1/p)[f(2)-f(1)]
3. (a)
Montrer que
lim un/n=1 pour n tendant vers +oo
(b) Montrer que

lim int e^t/t² dt de n à 1/int e^t/t dt de nà
n+1 =0

(b) En utilisant la méthode des
rectangles, donner une valeur approchée à 0,1 près de l'intégrale intf(t) dt
de 1 à 2 . En déduire une valeur approchée de u\ à 0,1 près.

lim un/n=1 pour n tendant vers +oo

lim int e^t/t² dt de n à 1/int e^t/t dt de nà
n+1 =0

A l'aide d'une intégration par parties,
montrer que lim (Un-n)=ln(e-1) n tendant vers +oo

[mathador]

Salut,
le début est trivial (question 1 : la dérivée vaut (t-1)e^t/t², inégalité de la moyenne, etc ... niveau TS de base)
Par contre après je ne suis pas certain de bien lire :

pour tout nombre entier naturel non nul p, 0<=intf(t)dt de 1 à 2 -(1/p)sumf(1+k/p) de k=0 à p-1<=(1/p)[f(2)-f(1)]

Faut-il bien lire :

c'est pas évident les maths par ordinateur, quand même :lol5:
Sinon, des pistes (sans même être sûr des question !) : pour la fin de la question 1.b il faut penser au théorème de la bijection (on a montré que la fonction est stri croissante)
Bon, après, ils disent d'utiliser la méthode des rectangles donc on obéit :ptdr:
idem pour l'ipp.
J'attends confirmation de l'inégalité à montrer pour la faire (je veux pas creuser dans le vide !)
Cordialement

[Anonyme]

oui c'est la bonne formule celle que je dois démontrer par contre j'ai revu l'exo car certaine question ne coincidait pas le voici corrigé:
exercice 2 revu et corrigé

Exercice 2 Soit / la fonction
numérique définie sur [1, +oo[ par la relation

F(t)=e^t/t

1. (a) Montrer que la fonction f est
strictement croissante.

(b) En déduire que,
pour tout nombre entier naturel non nul n,

e^n/n<=intf(t)dt
de n à n+1<=e^(n+1)/n+1
Montrer que l’equation
e^x/x=int f(t)dt de n à n+1 admet une solution et une seule dans l’intervalle [n ;n+1]
On notera Un cette solution ce qui définit la suite (Un) n>0

2. a Montrer
que pour tout nombre entier naturel non nul p, 0<=intf(t)dt de 1 à 2 –(1/p)sumf(1+k/p)
de k=0 à p-1<=(1/p)[f(2)-f(1)]

b) En utilisant la méthode des
rectangles, donner une valeur approchée à 0,1 près de l'intégrale intf(t) dt
de 1 à 2 . En déduire une valeur approchée de u1à 0,1 près.
3. (a)
Montrer que
lim un/n=1 pour n tendant vers +oo
(b) Montrer que

lim (int e^t/t² dt de n à 1)/(int e^t/t dt de nà
n+1 )=0


A l'aide d'une intégration par parties,
montrer que lim (Un-n)=ln(e-1) n tendant vers +oo

merci encore