Fonction réciproque

par **Lutinette18** » 15 Oct 2008, 18:56

Bonsoir,

dans un exercice je dois donner le développement limité à l'ordre 5 au voisinage de la réciproque de la fonction : f : x-> x + sin(x)
Mon principal problème est de trouver ladite fonction réciproque. J'ai essayé plusieurs fonctions ad hoc mais aucune ne convenait...
Y a-t-il une méthode?

(je me posais aussi la question suivante : est-ce que toutes les fonctions ont une réciproque?)

Merci beaucoup!!

par **leon1789** » 15 Oct 2008, 19:11

C'est difficile d'expliciter la fonction réciproque, mais il est faisable d'expliciter la << réciproque >> du DL de x + sin(x).

par **Lutinette18** » 15 Oct 2008, 19:20

oui, sinon il n'y aurait pas d'exercice .... ^^

par **Lutinette18** » 15 Oct 2008, 19:20

Ahhhhh ok :D

par **Lutinette18** » 15 Oct 2008, 19:37

En fait, on obtient :
(x+sin(x))*(1 / (2 + x^2 /3! + x^4/5! + o(x^4)) = x

On trouve ainsi la fonction réciproque. L'exercice est-il terminé? Je dirais que oui, mais ça me semble un peu trop simple.

Merci encore

par **leon1789** » 15 Oct 2008, 19:42

Lutinette18 a écrit:En fait, on obtient :
(x+sin(x))*(1 / (2 + x^2 /3! + x^4/5! + o(x^4) ) = x

heu, tu es sûr ? avec un o(..) d'un coté, mais pas de l'autre ?

Je ne comprends pas le lien avec la fonction réciproque...

par **Lutinette18** » 15 Oct 2008, 19:50

j'ai fait le développement limité de x+sin x au voisinage de 0. J'ai mis x en facteur, puis j'ai passé la "grosse parenthèse" de l'autre côté.
En effet, ce n'est pas homogène. Que faudrait-il faire alors?

par **leon1789** » 15 Oct 2008, 19:52

Lutinette18 a écrit:j'ai fait le développement limité de x+sin x au voisinage de 0. J'ai mis x en facteur, puis j'ai passé la "grosse parenthèse" de l'autre côté.
En effet, ce n'est pas homogène.

Visiblement, tu confonds surtout "fonction réciproque (pour la composition)" et "inverse d'une fonction (pour la multiplication)".

par **leon1789** » 15 Oct 2008, 19:54

Lutinette18 a écrit:Que faudrait-il faire alors?

la réciproque de x+sin(x) a-t-elle une propriété de périodicité ? de parité ?

par **miikou** » 15 Oct 2008, 19:55

mdr c'est quoi la fonction réciproque d'un dl ? :ptdr:

par **Lutinette18** » 15 Oct 2008, 19:58

miikou a écrit:mdr c'est quoi la fonction réciproque d'un dl ? :ptdr:

très constructif, merci...

par **leon1789** » 15 Oct 2008, 20:08

miikou a écrit:mdr c'est quoi la fonction réciproque d'un dl ? :ptdr:

oui, en fait c'est le DL de la fonction réciproque (mais tu remarqueras que j'ai mis des > :zen: )
mais on part du DL de la fonction initiale pour en déduire le DL de la fonction réciproque... :id:

par **Lutinette18** » 15 Oct 2008, 20:09

leon1789 a écrit:la réciproque de x+sin(x) a-t-elle une propriété de périodicité ? de parité ?

x+sin(x) est impaire. Donc sa réciproque est impaire. Mais elle n'est pas périodique.

par **leon1789** » 15 Oct 2008, 20:10

Lutinette18 a écrit:x+sin(x) est impaire. Donc sa réciproque est impaire. Mais elle n'est pas périodique.

exact pour les deux réponses !
donc tu as déjà quelques coefficients du DL de la réciproque : lesquels ?

par **mathelot** » 15 Oct 2008, 20:15

bjr,

voilà quelques précisions:

f ' est strictement positive sauf en des points isolés, ce qui assure que
f est une bijection strictement croissante de

sur

Pour envisager le DL de la fonction réciproque, il aurait suffit que
f soit inversible dans un voisinage de 0. Içi, f est inversible sur R.

Soit g sa réciproque.
f(0)=0 donc g(0)=0
f '(0)=2 donc

on cherche le Dl de g sous la forme

où a et b sont deux nombres réels inconnus.
f est impaire donc g est impaire.

par **Lutinette18** » 15 Oct 2008, 20:16

leon1789 a écrit:exact pour les deux réponses !
donc tu as déjà quelques coefficients du DL de la réciproque : lesquels ?

On sait donc que les puissances de x sont toutes impaires. Mais concernant les coefficients?

par **leon1789** » 15 Oct 2008, 20:21

Lutinette18 a écrit:On sait donc que les puissances de x sont toutes impaires. Mais concernant les coefficients?

exact !
soit

la fonction réciproque à

.
On a donc

.

Que sait-on sur

pour déterminer a,b,c ?

par **mathelot** » 15 Oct 2008, 20:23

mathelot a écrit:Soit g sa réciproque.
f est impaire donc g est impaire.

on cherche le Dl de g sous la forme

où a et b sont deux nombres réels inconnus.

ensuite

mais f(x)=o(1).

[/TEX]

A cause de l'unicité du DL, in ne reste plus qu'à identifier les deux fonctions
polynomiales de la variable x pour calculer a et b.

par **leon1789** » 15 Oct 2008, 20:24

oui voilà :id: mais il faut s'y prendre comme il faut dans le développement ...en négligeant bcp de choses, et en gardant juste le nécessaire :!:

par **Lutinette18** » 15 Oct 2008, 20:29

d'accord, merci. Je vois en gros, mais je vais arrêter là pour la résolution de l'exercice car je ne pense pas que j'arriverai au bout. J'en suis même presque sure!

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