Fonction réciproque

[mehdi-128]

Bonsoir,

Soit la relation

Si que vaut ?

J'hésite entre et

[FLBP]

Salut,
Ce n'est pas forcement une unique solution pour tous les cas.
ça aide si je te rappelle que arctan(x) est impair ?

[capitaine nuggets]

Salut !

Je ne comprends pas bien ton message. Si alors . Or comment définir le quotient si le dénominateur est nul ?

En revanche, on a ceci :
- si alors ;
- si alors .

Il suffit de considérer la fonction et de montrer que , donc est constante.

[mehdi-128]

Salut,
Ce n'est pas forcement une unique solution pour tous les cas.
ça aide si je te rappelle que arctan(x) est impair ?

Rien compris.

[mehdi-128]

Captain je suis d'accord mais j'aimerais comprendre la remarque suivante de mon livre :

Si alors

[tournesol]

Si alors la formule de ton premier message est applicable et arctan(X) n'est jamais égal à pi/2 ou à -pi/2 , et ce qqs X .

[FLBP]

Rien compris.

J'aurais voulu que tu remarque que si:


sachant que impliquant que pour

[mehdi-128]

Je vois merci. Ensuite je dois montrer que :

Pour la relation est vraie si et seulement si

J'ai fait :
On peut remarquer que pour on a :

(1)


Soit
Si alors

Alors et d'où :



En appliquant la fonction Arctan à (1) l'égalité proposée est vraie.

On a montré :

Réciproquement si alors pour la relation (1) est vérifiée mais je ne vois pas comment en déduire que

Je sais qu'après je dois aussi traiter le cas

[aviateur]

Bonjour
"On a a montré que " c'est aller vite en besogne. En effet je vois pas de démonstration
avec le cas x>0, y>0.

Réciproquement si alors pour la relation (1) est vérifiée mais je ne vois pas comment en déduire que

Tu devais voir que xy>1 implique 1-xy<0

[mehdi-128]

Oui je vais traiter le cas y>0 après. Mais je vois pas comment montrer que 1-xy <0 à partir de la formule de départ.

[aviateur]

si x>0,y>0 qu'est ce qu'il se passe si xy>1?

[mehdi-128]

C'est quoi le rapport ?

Je suis dans le cas et et je souhaite montrer que :

[aviateur]

C'est quoi le rapport ?

Je suis dans le cas et et je souhaite montrer que :

Tu rigoles ou quoi? Il n'y pas d'ordre dans ta démarche, on ne sait plus où on en est.
Et puis comment veux tu que je devine que c'est l'évidence qui te gêne?
Et bien x>0 et y<=0 , ça fait xy<1 .

[mehdi-128]

Ah c'était évident

Supposons et .

Alors et

Supposons que :

Alors forcément et

Soit encore :

Par croissance de la fonction tan sur on a :

d'où le résultat.

Mais je ne vois pas comment montrer la réciproque ici....

[aviateur]

Bonjour
C'est pas faux , mais tu utilises (tan(pi/2-arctan(x))=1/x. !! qui est vrai mais la réponse me semblait plus simplicime: En effet
si on a x>0 et y>0 et arctan(x)+arctan(y)=arctan((x+y)/(1-xy)) alors on ne peut avoir xy>1 sinon le membre de droite serait négatif (à cause de 1-xy<0 c'était mon indication).

[mehdi-128]

Ah d'accord merci.

Mais je n'arrive pas à montrer la réciproque.

Supposons que alors alors ....

[aviateur]

On fait la démo pour x>0 (le cas x<0 en sera déduit par symétrie)
Posons A=arctan(x)+Arctan(y) et B=arctan((x+y)(1-xy)).
On a tan(A)=tan(B) avec B\in ]-Pi/2,Pi/2[.
On aura donc A=B ssi A\in ]-Pi/2,Pi/2[.

si y<=0 c'est facile à vérifier.

si x>0 et y>0. On a A>0, Il faut montrer que A<\pi/2. comme xy<1 alors y<1/x

A=arctan(x)+arctan(y)<arctan(x)+arctan(1/x)=Pi/2 (la fonction arctan est croissante) cqfd

[mehdi-128]

Mais je voulais montrer que :

Si et :



Les raisonnements dans le sens inverse j'ai réussi tous les cas.

[aviateur]

mais je viens de dire qu'il faut vérifier que A est entre -Pi/2 et PI/2 et c'est facile... quand x>0 et y<0

[tournesol]

Je reprends la rédaction d'aviateur:
On pose A(x,y)=arctan(x)+arctan(y) , et B(x,y)=arctan
On a tan(A)=tan(B) donc A=B+kpi , k entier relatif .
Or B est une valeur de l'arc tangente . Donc
Donc A=B ssi
Il suffit alors de montrer que ssi xy<1
On fixe x et on fait varier y .
La fonction Ax définie sur R par Ax(y)=A(x,y) est strictement croissante (aviateur dixit)
On a clairement et pour x=0 , xy<1 pour tout y . CQFD pour x=0
Si x>0 , un simple tableau de variations de Ax montre que ssi y<1/x
Or y<1/x et x>0 ssi xy<1 et x>0 . CQFD pour x>0 .
Si x<0 , un simple tableau de variations de Ax montre encore que ssi y>1/x
Or y>1/x et x<0 ssi xy<1 et x<0 . CQFD pour x<0 .