Fonction C1 pour respecter les condition de Dirichlet

[vovic]

Bonjour, voici la fonction :
f(x) = cos(x) , si -pi<=x<0,
f(x) = sin(x) , si 0 <= x < pi.

elle est 2pi - périodique et voici sa représentation graphique :


analyse :
est 'elle continue? :
OUI ! mais non pas sur 2 pi , seulement sur pi , donc elle n'est pas continue sur [-pi, T[.
Est-ce que cela me permet de dire qu'elle est continue par morceaux?

est 'elle dérivable?
OUI!
sa dérivé, est 'elle continue sur [ -pi , T [ ?
NON! , elle est continue sur [ -pi , T / 2 [

question finale:
est-ce que c'est une fonction C1?

[capitaine nuggets]

Salut !

1. Ce qu'on te demande c'est si la fonction ainsi définie est continue (sous-entendu sur donc si tu trouves au moins un point où n'est pas continue alors n'est pas continue).

La courbe représentative de te laisse bien penser que non : elle a seulement l'air continue sur tous les intervalles de la forme , où est un entier quelconque. Autrement dit, il faut montrer que n'est pas continue en tout les point , où est un entier quelconque. Pour cela regarde les limites de à gauche et à droite en chaque point . Si elles coïncident, c'est que la fonction est continue, sinon c'est qu'elle ne l'est pas.

2. Savoir si est dérivable n'est pas si évident que ça : il y a un peu de travail à faire. Je suis d'accord qu'il est raisonnable de dire que est dérivable sur chaque intervalle , avec entier, mais il faut examiner ce qui ce se passe de plus près aux points (avec encore entier...).

Après, c'est quoi ton ?

Enfin, je te rappelle que f est de classe si est dérivable et de dérivée continue.

Remarque : Du fait que est définie sur , étudier sa continuité et sa dérivabilité sur , revient à étudier sa continuité et sa dérivabilité sur car est supposée être [/tex]-périodique.

[Kolis]

Bonjour !
"Une" condition de Dirichlet est : "périodique et C1 par morceaux" ce qui est le cas de la fonction proposée.

[vovic]

Bonjour,
merci pour les réponses apportés.
le << T >> c'est la période de la fonction, ici T = 2pi.

pour précision s'il vous plaît :
soit f une fonction définie sur I,
alors elle est C1 si:
- elle est continue sur son intervalle de définition I ( f continue sur I ) ,
- elle est dérivable en tout point de I et sa dérivé est aussi continue sur I ( f' continue sur I )

Mais qu'en est-il de la fonction périodique ( de période T = 2 pi ) ?

pour dire qu'elle est C1 , il faut qu'elle soit continue sur [ t0 , T [ , ainsi qu'elle soit dérivable sur [ t0 , T [ et que sa dérivé f' soit aussi continue sur [ t0 , T [ ?
Si elle n'est pas continue sur [ t0 , T [ , mais seulement sur [ t0 , T / 2[ et qu'elle est dérivable et que sa dérive est aussi continue sur [ t0 , T /2 [ il s'agit d'une continuité par morceaux ?
peut' on dire qu'elle continue par morceaux que sa dérivé est continue aussi par morceaux et que donc elle de classe C1?

Cordialement.

[pascal16]

dérivable => continue

On ne mélange pas la vraie dérivée et son écriture qu'on peut avoir en recollant les morceaux.
n'existe pas en chaque point de discontinuité. Donc par définition la dérivée non plus.

La fonction carré (enfin le signal carré en traitement du signal, soit des créneaux en math) a une écriture de sa dérivée assez simple : c'est 0. Et =je pense que tu l'as déjà un peu étudiée en exemple.

La série de Fourier converge vers ta fonction, sauf en chaque point de discontinuité où elle vaut la moyenne des deux valeurs au point de discontinuité. Finalement, pour lever toute ambiguïté, in faudrait écrire la fonction avec des intervalles ouverts.