Fonction non identiquement nulle

[syrella]

bonjour
soit Δ le disque unité et f fonction holomorphe de Δ vers Δ avec f(0)=0 et f'(0)=1
1 montrer qu'il existe une fonction holomorphe g sur Δ telle que f(z)=zg(z) pour tout z appartient a Δ
alors je dis que puisque f(0) est un zéro de f alors f(z)=z (puissance de p ) g(z) avec g holomorphe or p=1 car f'(0)=0 donc f(z)=zg(z) pour pour que tout ça soit vrai il faut que f soit non identiquement nulle ma question c'est comment la démontrer ? et merçi d'avance

[Lostounet]

Hello

Je ne comprends pas comment tu passes directement de 0 annule f à l'existence de p tel que... en plus tu affirmes que g est holomorphe alors que c'est ce qu'il faut prouver.

Sinon, moi j'aurais dit:
1. f est holomorphe sur delta, donc elle est analytique et donc développable en série entière au voisinage de l'origine z = 0

2. Tu écris f comme somme de sa série de Taylor (en explicitant, dans le DSE, les coefficients qui sont les dérivées successives de f prises au point 0... tu vois bien)

3. f(0)=0 fait que le développement en série entière commence non pas en n=0 mais n=1 (pas plus car f'(0)=1) du coup, f(z)/z est bien analytique sur le disque donc holomorphe.

(pense juste à diviser par z non nul puis à prolonger g par continuité en z=0)

[syrella]

salut
j'ai bien compris ton raisonnement mais est ce que je peux la montrer par cet proposition ?
on a la proposition suivante ;
Soit f une fonction holomorphe dans un ouvert Ω. Si t est un zéro isolé de f ( f non identiquement nulle et ∀ t appartient a Ω on a f(t)=0) alors il existe un unique entier positif p et g fonction holomorphe tel que f se mette sous la forme suivante :
f(z)=(z-t)(puissance p )g(z) avec p puissance de t
dans cet exercice pour utiliser cette proposition il faut d'abord dire que f non identiquement nulle et c'est ce que je n'arrive pas a démontrer

[Lostounet]

Si f était identiquement nulle, alors f' le serait aussi or f'(0)=1

Cette proposition c'est presque ce que je te disais.

[zygomatique]

bonjour
soit Δ le disque unité et f fonction holomorphe de Δ vers Δ avec f(0)=0 et f'(0)=1
1 montrer qu'il existe une fonction holomorphe g sur Δ telle que f(z)=zg(z) pour tout z appartient a Δ
alors je dis que puisque f(0) est un zéro de f alors f(z)=z (puissance de p ) g(z) avec g holomorphe or p=1 car f'(0)=0 donc f(z)=zg(z) pour pour que tout ça soit vrai il faut que f soit non identiquement nulle ma question c'est comment la démontrer ? et merçi d'avance

salut

un travail brouillon, peu aéré donc illisible et qui conduit à écrire des bêtises ....

de plus le résultat :

salut
j'ai bien compris ton raisonnement mais est ce que je peux la montrer par cet proposition ?
on a la proposition suivante ;
Soit f une fonction holomorphe dans un ouvert Ω. Si t est un zéro isolé de f ( f non identiquement nulle et ∀ t appartient a Ω on a f(t)=0) alors il existe un unique entier positif p et g fonction holomorphe tel que f se mette sous la forme suivante :
f(z)=(z-t)(puissance p )g(z) avec p puissance de t
dans cet exercice pour utiliser cette proposition il faut d'abord dire que f non identiquement nulle et c'est ce que je n'arrive pas a démontrer

fondamental pour répondre à la question est donné ... bien trop tard ....


pour utiliser un théorème il faut vérifier ses hypothèses et donc faire les choses dans l'ordre :

1/ montrer que f n'est pas identiquement nulle et qu'elle possède un zéro (qui est donc isolé (car f est holomorphe))

2/ conclure en appliquant le théorème

[Ben314]

Salut,
Il me semble aussi utile de signaler qu'il n'y a pas vraiment besoin d'un quelconque "gros théorème" dans un tel cas : g(z)=f(z)/z
- Est holomorphe sur le disque unité privé de 0 comme quotient de fonction holomorphe.
- Se prolonge par continuité en 0 avec g(0)=f'(0)=1 car [par définition même de ce qu'est la dérivée]
- Donc 0 n'est pas un pôle de g mais un point régulier et g (une fois prolongée) est effectivement holomorphe sur le disque.