Fonction non identiquement nulle

par **barbu23** » 20 Jan 2014, 15:52

Bonjour à tous,

Dans un exercice où il faut établir que :

Soit

une forme linéaire sur

telle que :

:

quant

.
Alors :

est une distribution.
On m'a dit qu'il faut d'abord procéder par absurde, mais avant, il faut montrer que :

:

n'est pas la fonction nulle.
Pouvez vous me dire pourquoi

:

n'est pas la fonction nulle ?.

Merci d'avance. :happy3:

par **barbu23** » 20 Jan 2014, 19:19

Un petit up pour voir si quelqu'un a une réponse. :happy3:
Merci d'avance. :happy3:

par **barbu23** » 20 Jan 2014, 20:46

Un petit up pour voir si quelqu'un a une réponse. :happy3:
Merci d'avance. :happy3:

par **mrif** » 20 Jan 2014, 22:34

barbu23 a écrit:Bonjour à tous,

Dans un exercice où il faut établir que :

Soit une forme linéaire sur telle que :
: quant quant .
Alors : est une distribution.
On m'a dit qu'il faut d'abord procéder par absurde, mais avant, il faut montrer que :
: n'est pas la fonction nulle.
Pouvez vous me dire pourquoi : n'est pas la fonction nulle ?.

Merci d'avance. :happy3:

Je ne comprends pas pourquoi tu te poses cette question.
L'implication doit être vraie pour toute suite

de fonctions de

. Et comme la fonction nulle est un élément de

, je ne vois pas pourquoi tu veux l'exlure et en quoi elle est génante.

par **barbu23** » 20 Jan 2014, 22:58

Bonsoir : :happy3:

Pour répondre à la question initiale, il faut passer par un certain nombre de questions à résoudre :

On suppose que

est une forme linéaire où

est un ouvert non vide de

(remarque : choix de la lettre

) telle que

et supposons que

ne soit pas une distribution.Il existe alors un compact

inclus dans

tel que pour tout nombre entier naturel non nul

, on ait une fonction test

qui vérifie

où j'ai noté

pour

et

, avec la notation classique

pour une fonction

bornée sur

.
Remarque : J'ai juste pris

en faisant varier

dans

dans la définition de "

n'est pas une distribution".

Prouver que, pour tout entier naturel non nul

,

n'est pas la fonction nulle.

En déduire que, pour tout entier naturel non nul

,

n'est pas nul.
On pose, pour tout entier naturel non nul

,

(ce qui est possible d'après la question 2)).

Prouver que, pour tout entier naturel non nul

,

.

Prouver que, pour tout

et tout

, on a :

.

En déduire que

dans

.

Prouver que

et conclure.

par **barbu23** » 21 Jan 2014, 12:11