Fonction lipshitzienne

[slomin]

Bonjour, alors voila le truc, on me demande si f(t,x(t),y(t))=x(t)y(t) est lipschitzienne en sa seconde variable qui est X=(x,y) sachant que x(t) et y(t) appartiennent à [0,1]

donc on écrit |f(t,X1)-f(t,X2)|=|x1*y1-x2*y2| et la bouuuu je bloque

J'ai essayé de mettre un facteur x1-x2 ce qui ne donne rien de concluant.

[girdav]

Bonjour,
ce résultat n'étant pas vrai pour une fonction quelconque je suppose que l'on doit avoir des informations dessus. Ceci permettrait de savoir pourquoi on a l'égalité avec les valeurs absolues.

[slomin]

En faites à la base l'énonce est plutôt de cette forme.
On a x'(t)=y(t) et y'(t)=-x(t)*y(t)

avec x(t) et y(t) appartenant à [0,1] et t appartenant à [0,T]
On nous demande d'écrire Y'(t)=f(t,Y(t))



Donc f(t,Y(t))= (x'(t),y'(t)) si Y(t)=(x(t),y(t))
et On nous demande alors si elle est lipschitzienne en sa seconde variable.

Donc on calcule |f(t,Y1)-f(t,Y2)|1= |y1-y2|+|-x1*y1 + x2*y2|


avec Y1=(x1,y1) et Y2=(x2,y2)

Et voila c'est le second terme qui pose problème le |x1*y1 - x2*y2|.

[Ben314]

Salut,
Tu pourrait déjà constater que ta fonction f ne dépend en fait pas du tout de t. On peut donc la définir uniquement en (x,y) ce qui permet d'avoir comme ensemble de départ le compact [0,1]². Comme elle est clairement de classe C1, elle est forcément Lipschitzienne et il est inutile de faire le moindre calcul.

Si on veut quand même faire des calculs, il serait de bon ton de se souvenir de comment on prouve que la limite d'un produit est le produit des limites (ou du que la dérivée de fg est f'g+fg' ou de la façon d'estimer l'erreur dans un produit ou...) qui consiste à écrire que :
ab - a'b'=(a-a')b+a'(b-b') et qui permet de voir que ab est proche de a'b' lorsque a est proche de a' et b proche de b'.

[slomin]

Merci bien ben314

[slomin]

On me demande les états d'équilibres de mon système, donc c'est juste les points t tel que y(t) s'annule?

Et après j'ai une autre question, il faut alors montrer que si y(t) s'est annulé, elle reste nulle.
Je peux appliquer Euler mais bon, ça reste une approximation. Sinon dans le même genre il y a la formule de Taylor, on voit que quelques soit l'ordre de dérivation, elle contient un facteur en y(t) et donc s'annule.

Et donc si y(x) s'annule on aura pour tout a

y(a)=y(x)+(a-x)y'(a)+(a-x)^2/2 * y''(a) + R(a) et comme on sait que quelques soit l'ordre de y on aura la dérivée k ième de y, qui s'annulera en x.
Donc y(a)=0.

Enfin voila, est ce que vous pensez que c'est de cette manière qu'il faut s'y prendre?