Fonction linéaire

par **The Void** » 25 Fév 2008, 15:28

Bonjour,

Le reste est à peu près évident, mais j'ai du mal à démontrer à partir de (1) ou (2) l'existence de la fonction g:

Soit E de dim n, f L(E)
(1) Ker f = Im f
(2) f² = 0, n 2|N, rang f = n/2
(3) f² = 0, il existe g L(E) tel que f°g + g°f = Id_E
Montrer que (1) <=> (2) <=> (3)

par **Nightmare** » 25 Fév 2008, 16:55

Salut :happy3:

Je pense que tu as démontré sans mal que 1 2

Montrons que si l'on a 1 (et donc 2) on a 3.

L'idée dans ce genre d'exercice c'est toujours de regarder du côté d'un supplémentaire du noyau ou de l'image de f.

Il existe H tel que

On construit l'application

qui à x associe f(x).

donc

est un isomorphisme.

Considèrons alors l'application

Montrons que

Soit x dans E.
Si x est dans Im(f) :

car x est dans Ker(f)
D'où

Si x est dans H :

car f(x) est dans Im(f)
D'où

On a bien dans tous les cas

:happy3:

par **The Void** » 25 Fév 2008, 17:08

Merci, ta méthode est très intéressante!
Effectivement, il semble qu'utiliser un supplémentaire du noyau/image se révèle souvent être la bonne solution...

par **kazeriahm** » 25 Fév 2008, 17:10

Nightmare a écrit:

On construit l'application qui à x associe f(x).
donc est un isomorphisme.

salut

pour dire ca il faut quand même que phi soit injective ou surjective (il est clair qu'elle est injective et clair qu'elle est surjective)

par **busard_des_roseaux** » 25 Fév 2008, 17:24

Nightmare a écrit:Considèrons alors l'application

Salut,

peux tu préciser pourquoi g est bien définie ? car en général H et Im(f) ne sont pas supplémentaires.

par **Nightmare** » 25 Fév 2008, 17:24

oui bien sûr kazeriahm :happy3:

par **The Void** » 25 Fév 2008, 17:40

busard_des_roseaux a écrit:Salut,

peux tu préciser pourquoi g est bien définie ? car en général H et Im(f) ne sont pas supplémentaires.

H et ker f sont supplémentaires, et ker f = im f (ce que l'on suppose au départ).

par **busard_des_roseaux** » 25 Fév 2008, 17:49

merçi bien.

par **Nightmare** » 25 Fév 2008, 18:04

Je vois que j'aurais dû un peu plus préciser ma démo, je pensais qu'elle était claire...

S'il y a d'autres question n'hésitez pas.

par **kazeriahm** » 25 Fév 2008, 18:21

t'inquiète Nightmare c'est juste une petite rectification de "rigueur" même si le fond est là

pareil quand tu veux montrer que f°g+g°f=I, tu dis "soit x dans E", si x est dans Ker f, si x est dans H,... or x peut etre dans E sans etre dans Ker f ou dans H :id:

il aurait fallu dire "la relation f°g+g°f=I est vérifiée sur deux espaces supplémentaires dans E, donc dans E tout entier"

bon je chipote

par **The Void** » 26 Fév 2008, 11:40

Je crois quand même avoir repéré une erreur: sauf erreur de ma part, g n'est pas linéaire (ce qui est demandé dans l'énoncé).

par **kazeriahm** » 26 Fév 2008, 13:21

g est bien linéaire

par **The Void** » 26 Fév 2008, 14:21

kazeriahm a écrit:g est bien linéaire

Si u H et v Im(f), comment peut-on savoir que g(u+v) = g(u) + g(v)?

Fonction linéaire

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