Fonction linéaire continue

[melreg]

Bonjour,

J'ai cherché un moment sur le forum, mais je n'ai pas trouvé de post à mon sujet... pourtant, c'est un classique!

Comment montre-t-on qu'une application linéaire entre X et Y, où X est un espace vectoriel normé de dimension finie et Y un espace vectoriel normé, est continue?

Merci d'avance!

[Taupin]

il y a 5 caractérisations alors dis moi les hypothèses que tu as dessus ;)

[melreg]

Euh... il n'y a pas d'autre hypothèse! Donne une des preuves, pas trop compliquée si possible!

[Taupin]

Ba ça dépends ! C'est pas tjs continue, donc ya pas de preuve vu que ya rien à montrer ;)

[guigui777]

f linéaire, alors f(x) = f(xo) + f(x-xo), tu passes à la limite, tu as : x->xo => f(x-xo)-> 0 (linéarité) et donc f(x)-> f(xo) => continuité!

[kazeriahm]

salut

guigui tu dis f(x-x0) tend vers 0 par linéarité ce qui est faux

d'ailleurs f est continue sur l'ensemble entier ssi f est continue en 0 est une caractèrisation connue

[kazeriahm]

est-ce que tu as vu qu'en dimension finie un ensemble K est compact ssi il est fermé borné ?

[Taupin]

exact ! mais ya pas que ca ^^

[melreg]

Et si on prend Y aussi de dimension finie, c'est toujours faux? Sinon, y a-t-il un exemple d'une fonction linéaire entre deux evn de dimension finie qui ne soit pas continue?

[ThSQ]

C'est pas du cours ça ??? :hein:

Suffit de vérifier que c'est continu en 0 par linéarité

(e_i) une base

||f(x)|| <= K ||x||, K = max ||f(e_i)|| donc f est lisptruct

[kazeriahm]

hum hum

le résultat est juste :

si E est de dimension finie et F quelconque normé alors toute application linéaire de E dans F est continue !! (même lispchitzienne)

[ThSQ]

Sinon, y a-t-il un exemple d'une fonction linéaire entre deux evn de dimension finie qui ne soit pas continue?

Y'en a pas.

[guigui777]

salut

guigui tu dis f(x-x0) tend vers 0 par linéarité ce qui est faux

d'ailleurs f est continue sur l'ensemble entier ssi f est continue en 0 est une caractèrisation connue

oui mais dans ce cas et c'est un resultat de cour f est continue en 0... et il y a équivalence entre :
1) f continue
2) f continue en 0
3) f(B(0,1)) est bornée
4) N(f) < ou = k N'(x)

[kazeriahm]

je suis bien d'accord mais c'était pas la question de montrer cette équivalence si ?

[guigui777]

je suis bien d'accord mais c'était pas la question de montrer cette équivalence si ?

ben oui mais il faut bien une hypothèse.... sinon c'est dur de la trouver cette équivalence, à mon avis il lui manque quelque chose a son exo....

[melreg]

Alors, il n'y a pas de preuve plus ou moins abordable à ce que je cherche?

[kazeriahm]

bé il faut montrer que si E est de fim finie et F normé alors f linéaire de E dans F est continue c'est tout

tu n'as pas à supposer que f est continue en 0

donc melreg as-tu vu dans ton cours un théorème qui te dit qu'en dim finie les compacts sont exactement les fermés bornés ?

[melreg]

Oui j'ai vu que dans un evn de dimension finie, les compacts sont exactement les fermés bornés!

[ThSQ]

donc melreg as-tu vu dans ton cours un théorème qui te dit qu'en dim finie les compacts sont exactement les fermés bornés ?

C'est bien plus simple que ça.

Plus généralement toute application linéaire de rang fini est continue (en dim finie, où c'est toujours vrai, ou pas).

[melreg]

Plus généralement toute application linéaire de rang fini est continue (en dim finie, où c'est toujours vrai, ou pas).

Oui, mais est-ce qu'il existe une manière le montrer "avec les mains" ( que toute application linéaire entre un evn de dimension finie et un evn est continue)?