Fonction impaire

[chok]

Bonjour à tous,

J'ai une petite question concernant l'énoncé d'un exercice, qui est le suivant:

Soit f une fonction réelle définie sur R, impaire et 2π-périodique, telle que :

f(x) = 1 −x/pi pour x ∈]0, π[


Je dois sûrement passer à côté d'un élément, mais pour moi cette fonction n'est ni paire, ni impaire...
Si quelqu'un a une explication, ce serait avec grand plaisir.
Bonne journée et merci!

Marie

[catamat]

Bonjour

On te dit que la fonction est impaire sur R et on la définit sur ]0;π[ (personnellement j'aurai fermé le crochet en π, je vais considérer que c'est le cas, sinon f(π) serait quelconque)

donc à toi de la définir f sur [-π;0[ sachant qu'elle est impaire puis aussi f(0) toujours sachant f impaire et enfin la définir sur R sachant qu'elle est périodique de période 2π.

[chok]

Merci beaucoup pour votre réponse.
Du coup je ne dois pas bien comprendre la définition d'une fonction impaire.
Car pour moi, elle est impaire si et seulement si f(-x) = - f(x), non ?

Et pour ma part en vérifiant avec par exemple pi et -pi, j'obtiens :

f(-pi) = 2
et
-f(pi) = 0

Je n'arrive pas à comprendre...

[Ben314]

Salut
Ton énoncé te dit on ne peut plus clairement que :

f(x) = 1 −x/pi pour x ∈]0, π[

Et toi, tu écrit que :

f(-pi) = 2
et
-f(pi) = 0

Est tu vraiment sûre que les réels pi et -pi sont dans l'intervalle ]0, π[ ?

Bref, la phrase "f(x) = 1 −x/pi pour x ∈]0, π[" ne permet bien évidement de tracer le graphe de f que pour les x entre 0 et pi. Donc pour le moment, on ne risque pas de savoir si elle est impaire (ou paire) vu qu'on ne connait aucun f(x) avec des x négatif.
Sauf que l'énoncé précise ensuite qu'on veut que f soit impaire donc que f(-x)=-f(x) et ça permet d'en déduire les valeurs que doit prendre f pour les x dans ]-π,0[ ainsi que la valeur en x=0 :
- Si x∈]-π,0[ alors f(x)=... et f(0)=... (à toi de compléter).
Avec ça on connait maintenant f sur ]-π,π[ sauf que l'énoncé précisant qu'on veut aussi que f soit 2π-périodique, ça permet d'en déduire les valeur qu'elle doit prendre sur les intervalles ]-π,π[ translatés de 2kπ, donc par exemple sur ]-3π,-π[ ou ]π,3π[ etc. . . donc en fait sur tout les réels sauf les (2k+1)π avec k entier.
Exercice : Calculer f(-25π/3).
Et comme je suppose que c'est un exercice sur les séries de Fourrier, la valeur qu'elle prend en ces points particuliers n'a aucune importance vu que ça ne change rien aux intégrales de la fonction.

[catamat]

Avant de définir f(x) par des expressions, essaye de faire la représentation graphique, sachant que f impaire signifie que la courbe représentant f est symétrique par rapport à.....

[chok]

D'accord, j'ai mieux compris ! Merci beaucoup pour vos réponses.