Fonction holomorphe

[oggar]

Bonjour, voici un nouvel exercice si vous pouvez me débloquer.

Soit la fonction holomorphe au voisinage de , telle que :

, et

Monter que :

[aviateur]

Bonjour
C'est pas évident pour tout le monde. Voir ma solution en MP. J'attends de voir les réponses sur l'autre forum qui ne viennent pas..., l'exo n'est peut être pas dans leur tablette..

[oggar]

J’ai corrigé :

Oui, ça se voit que c’est un exercice difficile, mais certainement, on va utiliser le principe de maximum et le principe de l’argument.

Je n’ai pas reçu de MP.

[aviateur]

Non, tu as dû voir que la solution n'est pas difficile à comprendre.
Concernant ton idée d'utiliser la formule de Cauchy, elle est bonne en soi-même. Mais ça marche pas aussi simplement.
Celui qui te dit (@P...) "alors calcule l'intégrale" avec un point d'exclamation, il me laisse perplexe; d'abord ça veut pas dire grand chose comme indication et je me demande s'il sait faire l'exo. D'autant plus que pour un autre exercice, il te dit de montrer que "f est polynomiale dans un premier temps" et tu as bien vu que f n'est pas polynomiale....Alors ça me fait marrer tout ça.

[oggar]

Le but de venir dans les forums de maths c’est pour avoir des indications.
Mais parfois, il y a des gens qui écrivent n’importe quoi comme indication, mais ils oublient que les étudiants ne sont pas des débiles, car c’est facile de détecter si l’indication ou la solution proposée est logique et juste ou pas.

J’ai remarqué que (@P..) me raconte n’importe quoi dans les 2 exercices que j’ai postés, j'ai préféré ne pas répondre, et je pense que c’est rare de trouver qu’un qui peut résoudre ce genre d’exercice difficile.

[Poncargues]

Puisque l'on parle de moi.
Mon indication était en effet de calculer l'intégrale, pas de majorer brutalement par le max de l'intégrale.
Ce qui donne un meilleur majorant. Effectivement je n'ai pas mené le calcul (je ne le fais jamais) et je n'avais pas remarqué que la borne n'étais pas encore assez bonne. J'imagine que la formule de Jensen doit donner elle, une borne suffisante.

Quant à l'autre exercice, j'ai corrigé 1 min àpres ma réponse
https://www.ilemaths.net/sujet-fonction ... msg7284229

Montre que f'-f est polynomiale dans un premier temps

Ce qui est vrai, et permet de résoudre immédiatement la question.

Libre à vous de penser que je raconte n'importe quoi. Demander des précisions aurait simplement suffit.

[aviateur]

Bonjour
@poncargues, oui pour l'indication concernant de montrer que c'est polynomial. Je n'ai pas vu la correction que tu as apporté.
De toute façon tout le monde peut se tromper, perso ça m'arrive aussi de faire des erreurs de calculs qu'un élève de 3ème ne ferait pas. De plus on est sur un forum et quasiment on travaille sans papier ce qui engendre des erreurs automatiquement. Alors je ne veux pas te froisser pour cela.
Mais c'est vrai que pour l'exo en question je n'ai pas compris l'indication et ne l'a comprend toujours pas. C'est à dire que je ne vois pas ce que tu entends par calcul l'intégrale car la fonction f on en l'a connait pas.
Maintenant je n'ai pas à donner la solution, d'abord parce que je ne participe pas à ce forum et je voulais surtout par curiosité voir comment vont faire les autres.
Il faut comprendre que la solution n'a rien de compliquée du tout mais comme on dit il faut tout de même y penser. cordialement.

[Poncargues]

Tu ne m'a pas froissé. J'ai un peu tiqué du sous entendu que je "racontais n'importe quoi" et que "je ne savais pas faire l'exo" alors qu'il est essentiellement trivial.
L'indication était simplement de calculer l'intégrale en majorant la fonction à intéger
ce qui se calcule et donne un majorant meilleur que majorer brutalement par ce qu'a fait Oggarr. Effectivement ce majorant ne suffit pas et je ne m'en étais pas rendu compte mais bon c'est une piste naturelle à essayer.

Bon, appliquer la formule de Jensen fonctionne (je viens de vérifier cette fois).

Apres bien sur que je peux faire des erreurs, et je ne me prive pas d'en faire. Bref, aucun souci de mon coté, je voulais simplement apporter ces precisions.

Du reste, c'était surtout à Oggarr que je m'adressais, s'il n'avait pas compris mes indications, il pouvait simplement me demander plus de precisions.

[aviateur]

Rebonjour, Ok tant mieux. J'avais pas compris. Mais alors la formule de Jensen si tu peux tu peux expliquer, ça serait intéressant.
Perso j'ai simplement appliqué la majoration non pas à f(z) mais g(z)=f(z)f(-z) qui est aussi holomorphe.
C'est tout bête mais j'ai dû chercher un peu.
Dans ce cas |g(exp(it) )|\leq exp(2\pi) . La fin est triviale.

[Poncargues]

Oui, bien sur.
La formule de Jensen donne tout de suite le résultat.
En fait on a meme pas besoin de l'utiliser, elle résulte essentiellement du fait que log(|f|) est harmonique quand |f| ne s'annule pas.
Mais on peut remarque directement que log(|f|) est sous harmonique ce qui implique directement

[aviateur]

Oui, si f n'a pas de zéros dans le disque ça marche. Pas de problème.
Mais je ne comprends pas tout: (peut être dûe à mon ignorance sur les fonctions sous- harmoniques)
En effet une des conditions pour qu'une fonction u (à valeurs ds) soit sous-harmonique c'est:
Pour tout compact K du disque et toute fonction h harmonique à l'intérieur de
K telle que sur , on a dans K.
C'est facile à vérifier? Ou alors il y a des caractérisations que je ne connais pas qui justifient cela?
De plus est ce que cela implique que f n'a pas de zéro dans le disque?

[oggar]

Bonjour Poncargues ,

J’ai déjà mentionné sur le forum que je ne comprends pas tes indications.
J’ai compris une fois, j’ai essayé avec la formule de Cauchy et ça n’a pas marché.
J’ai remarqué une chose, c’est que pour ce genre d’exercice où l’on ne connaît pas la fonction, la majorité des cas il faut considérer une fonction.

[Poncargues]

Que f ait des zeros ou pas dans le disque la formule de Jensen donne le résultat (la somme sur les log de |a_k| est négative vu que |a_k| est majoré par 1).

Ensuite une condition de sous harmonicité facile à vérifier ici est la "sous-égalité de la moyenne", c'est l'equivalent de l'egalité de la moyenne pour les fonctions harmonique mais avec un majoration au lieu d'une égalité.
Si f est holomorphe alors log(|f|) est sous harmonique, sur n'importe quel cercle sur lequel f est définie et holomorphe log(|f|) est intégrable du sorte que la condition intégrale de sous harmonicité à un sens, en fait la formule de Jensen implique la sous harmonicité.

[aviateur]

D'accord, c'est bien merci. Bon c'est aussi une bonne solution qui demande d'avoir + de connaissances.

[oggar]

Tu as vérifié ma solution envoyée hier ?