Bonjour !
Je n'arrive pas à résoudre cet exercice, pourriez-vous m'aider ?
- On suppose f telle que f(tu)=t^rf(u). Soit g(a)=f(cosa,sina) pour tout réel a tel que (cosa,sina) appartient à l'ouvert U. Exprimer f(tcosa,tsina) en fonction de g, pour tout réel t positif.
Je pense que : f(tcosa,tsina)=t^rg(a) , mais cela semble trop facile étant donné l'énnoncé.
Qu'en pensez vous ?
Merci.
Fonction et gradiant [MPSI]
9 messages
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par quinto » 08 Mar 2006, 21:22
Bonjour,
Bein ca me semble pas mal.
JohnN a écrit:Bonjour !
Qu'en pensez vous ?
Merci.
Bein ca me semble pas mal.
par Anonyme » 09 Mar 2006, 22:36
Encore une question ( cela concerne toujours le même exercice).
Pour t réel strictement posif, et u=(tcosa,tsina) appartenant à un ouvert U, je dois exprimer gradf(u) à l'aide de g(a) et g'(a).
Je n'y arrive pas du tout. Je pense qu'il faut utiliser la question précédente, mais je n'arrive pas à faire apparaître g'(a).
(Je ne sais pas si c'est utile, mais j'ai montré dans une autre question que si f est telle que f(tu)=t^r f(u), alors on a u|gradf(u)=rf(u) )
Merci. :-)
Pour t réel strictement posif, et u=(tcosa,tsina) appartenant à un ouvert U, je dois exprimer gradf(u) à l'aide de g(a) et g'(a).
Je n'y arrive pas du tout. Je pense qu'il faut utiliser la question précédente, mais je n'arrive pas à faire apparaître g'(a).
(Je ne sais pas si c'est utile, mais j'ai montré dans une autre question que si f est telle que f(tu)=t^r f(u), alors on a u|gradf(u)=rf(u) )
Merci. :-)
par El_Gato » 10 Mar 2006, 14:51
Salut,
Voici ce que je propose:
Puisque tu as démontré que)
on a:
 +t \sin a \frac{\partial f}{\partial y} (t \cos a , t \sin a) = rt^r g(a))
.
Si on dérive cette égalité par rapport à t on trouve:
 + t\cos a \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t} \left(\frac{\partial f}{\partial x} (t\cos a , t\sin a) \right))
 + t\sin a \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t} \left( \frac{\partial f}{\partial y} ( t\cos a , t\sin a)\right) = r^2t^{r-1}g(a))
,
c'est à dire
 + t\cos a \frac{\partial f}{\partial x} (\cos a , \sin a))
 + t\sin a \frac{\partial f}{\partial y} ( \cos a , \sin a) = r^2t^{r-1}g(a))
car l'ordre des dérivations n'importe pas.
D'autre part on a:
 = f( \cos a , \sin a))
donc:
 =)
.
Mais le vecteur)
est simplement le vecteur )
tourné de 
. En conséquence:
.
En conclusion:
 = r^2t^{r-1} g(a))
.
Voici ce que je propose:
Puisque tu as démontré que
Si on dérive cette égalité par rapport à t on trouve:
c'est à dire
D'autre part on a:
Mais le vecteur
En conclusion:
par El_Gato » 10 Mar 2006, 15:37
Salut,
Voici ce que je peux dire:
On a: (1) = t^r g(a))
.
Dérivons cette égalité par rapport à t. Il vient:
)
.
Maintenant, dérivons par rapport à a cette même égalité (1). Il vient:
)
.
Mais le vecteur est perpendiculaire au vecteur )
.
Donc:
 = r t^{r-1}g(a) + t^r g'(a))
.
Tiens d'ailleurs je me rends compte au passage qu'en tous les points où le gradient de f ne s'annule pas, g'(a) = rg(a) (diviser ce qu'on a obtenu ci-dessus, au lieu de l'ajouter).
Voici ce que je peux dire:
On a: (1)
Dérivons cette égalité par rapport à t. Il vient:
Maintenant, dérivons par rapport à a cette même égalité (1). Il vient:
Mais le vecteur
Donc:
Tiens d'ailleurs je me rends compte au passage qu'en tous les points où le gradient de f ne s'annule pas, g'(a) = rg(a) (diviser ce qu'on a obtenu ci-dessus, au lieu de l'ajouter).
par El_Gato » 10 Mar 2006, 16:32
Tiens d'ailleurs je me rends compte au passage qu'en tous les points où le gradient de f ne s'annule pas, g'(a) = rg(a) (diviser ce qu'on a obtenu ci-dessus, au lieu de l'ajouter).
Je me demande s'il n'y a pas un bug en fait...
Je me demande s'il n'y a pas un bug en fait...
par Anonyme » 19 Mar 2006, 17:38
Merci beaucoup !! Je n'avais pas vu la réponse ...
Je n'ai pas compris pourquoi le fait que les deux vecteurs soient perpendiculaires permet d'écrire la dernière égalité...
Je dois ensuite montrer à partir de cette égalité que le Laplacien de f Deltaf(u) est égal à :
Delta(f(u)) = Y(r,t) (g''(a) + r^2g(a))
avec Y(r,t) à préciser.
Pourriez vous me donner une piste ?
Merci encore !
Je n'ai pas compris pourquoi le fait que les deux vecteurs soient perpendiculaires permet d'écrire la dernière égalité...
Je dois ensuite montrer à partir de cette égalité que le Laplacien de f Deltaf(u) est égal à :
Delta(f(u)) = Y(r,t) (g''(a) + r^2g(a))
avec Y(r,t) à préciser.
Pourriez vous me donner une piste ?
Merci encore !
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