pour démontrer que :
une des étapes intermédiaires consiste à écrire
mais je ne comprends absolument pas d'où sort cette égalité... si qqun peut m'éclairer
je le remercie d'avanceFonction Gamma
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Fonction Gamma
par Irrot » 27 Fév 2017, 19:41
Hello hello!
pour démontrer que :
 = \sqrt\pi)
une des étapes intermédiaires consiste à écrire
 = 2^{-n-1} \cdot \Gamma(\frac{1}{2})\cdot \prod_{k=1}^n (2k+1))
mais je ne comprends absolument pas d'où sort cette égalité... si qqun peut m'éclairer je le remercie d'avance
pour démontrer que :
une des étapes intermédiaires consiste à écrire
mais je ne comprends absolument pas d'où sort cette égalité... si qqun peut m'éclairer
je le remercie d'avanceModifié en dernier par Irrot le 28 Fév 2017, 15:59, modifié 1 fois.
Re: Fonction Gamma
par Ben314 » 27 Fév 2017, 20:24
Salut,
Partant de la définition même de la fonction
, si tu fait tout simplement une intégration par parties dans l'intégrale )
(en supposant Ré(z)>0) , ça te donne quoi ?
Partant de la définition même de la fonction
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
Re: Fonction Gamma
par Irrot » 27 Fév 2017, 20:31
on obtient par récurrence :
Re: Fonction Gamma
par Ben314 » 27 Fév 2017, 20:43
Oui et non : pour la première partie, à savoirIrrot a écrit:et si x est un entiers naturel avec la convention 0! = 1
on obtient par récurrence :
Par contre effectivement, si on fait une récurrence et qu'on veut à la fin tomber sur
Et si cette même récurrence tu la fait en partant de x=n+
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
Re: Fonction Gamma
par Ben314 » 27 Fév 2017, 21:08
Vu que \!=\!x\Gamma(x))
on a
=(n\!+\!\frac{1}{2})\Gamma(n\!+\!\frac{1}{2}))
--------;---(n\!-\!\frac{1}{2})\Gamma(n\!-\!\frac{1}{2}))
--------;---(n\!-\!\frac{1}{2})(n\!-\!\frac{3}{2})\Gamma(n\!-\!\frac{3}{2}))
------------ .
------------ .
------------ .
--------;---(n\!-\!\frac{1}{2})(n\!-\!\frac{3}{2})\cdots\frac{3}{2}\!\times\!\frac{1}{2}\!\times\!\Gamma(\frac{1}{2}))
Et si tu réduit toutes les fractions au même dénominateur, ça te donne...
--------;---
--------;---
------------ .
------------ .
------------ .
--------;---
Et si tu réduit toutes les fractions au même dénominateur, ça te donne...
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
Re: Fonction Gamma
par Pythales » 27 Fév 2017, 23:25
Il y a plus simple pour démontrer que =\sqrt{\pi})
Soit faire le changement
et intégrale de Gauss ...
Soit utiliser la formule des compléments (si tu la connais)
Soit faire le changement
Soit utiliser la formule des compléments (si tu la connais)
Re: Fonction Gamma
par Irrot » 28 Fév 2017, 15:58
voici le développement !! Merci bcp 
=\left(n+\frac{1}{2}\right)\Gamma\left(n + \frac{1}{2}\right) = \left(\frac{2n+1}{2}\right)\Gamma\left(n + \frac{1}{2}\right))
 + \frac{1}{2}\right) =)
(2n-1)\ldots(2\cdot1+1)}{2^n}\Gamma\left(1 + \frac{1}{2}\right))
(2n-1)\ldots(2\cdot1+1)(2\cdot0 + 1)}{2^{n+1}}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right))
}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\prod_{k=0}^{n} (2k+1))
Pa vraiment car l'intégrale de Gauss est une valeur particulière de la fonction Gamma. Et d'ailleurs on démontre la susdite grâce à Gamma
Pythales a écrit:Il y a plus simple pour démontrer que
Soit faire le changement
Soit utiliser la formule des compléments (si tu la connais)
Pa vraiment car l'intégrale de Gauss est une valeur particulière de la fonction Gamma. Et d'ailleurs on démontre la susdite grâce à Gamma
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