Bonjour
Je viens de regarder l'exo.
Voilà ce que je propose (à vérifier car je n'ai pas tout écrit mais je crois que ça marche):
D'abord on suppose
et fixé.
1.
On montre que la suite
=(1+x/n)^n)
est croissante (calculer
-f_n(x))
et développer avec la formule du binôme. )
Ensuite mq
)
est majorée (par
) d'où la convergence simple sur
de la suite
vers f (f(x)=e^x)
2. Pour la CVU sur [0,X]. On applique le théorème de Dini ( à condition d'avoir montré la continuité de f)
3. Continuité de f: Avec le th des accroissements finis on a
-f_n(x)|= |h || f'_n( x+ \theta h)|\leq |h| (1+X/n)^n \leq cste |h|)
(la constante ne dépend que de X : prendre |h|<1 et X=x+1 , cste =e^X )
|f(x+h)-f(x)|\leq |f(x+h)-f_{n}(x+h)|+|f(x)-f_{n}(x)|+ cste |h|
On choisit h tel que
et ensuite n assez grand pour
-f_{n}(x+h)|+|f(x)-f_{n}(x)|\leq 2 \epsilon/3.)
4. Pour la dérivabilité c'est la question la plus simple il suffit d'appliquer le th de dérivabilité des suites de fonctions.
5. Pour u<0. On pose u=-x et on a
*f_n(-x)=(1-x^2/n^2)^n)
Pour n assez grand
. Et alors
^n>1-n x^2/n^2=1-x^2/n)
Avec ça on montre alors que f_n(x)*f_n(-x) tend vers 1.
La suite
)
converge donc vers
