Fonction entière et analyse complexe

[PROFYANTOUR]

Trouver toutes fonctions entières g telles que g(z) + g(-z) = 4i et g n’a pas de points fixes

Soit h(z) = g(z) - z.
Comme g n’a pas de points fixes,
Alors la fonction entière h n’a pas de zéros.
Donc, il existe une fonction entière f telle que exp(f) = h.
Alors, g(z) = z + exp(f(z))
L’égalité g(z) + g(-z) = 4i donne alors : exp(f(z))+ exp(f(-z))=4i
Ainsi (exp(f(z))+ exp(f(-z)))/2=2i
Ch(f(z))=2i
f(z)=Arch(2i)
Est-ce-que cette demarche est correcte pour résoudre cette question ?

[Ben314]

Salut,
C'est correct sauf la dernière ligne : la fonction cosinus hyperbolique n'est pas bijective de C dans C (elle est même périodique de période 2i.Pi) donc ça n'a aucun sens de parler de ArgCh sur C sans avoir préalablement expliqué comment on avait restreint le domaine de définition de la fonction (pour la rendre bijective).

Bref, ce qu'il faut écrire, c'est que Ch(f(z))=2i <=> f(z) est une des solutions de l'équation Ch(Z)=2i où, à priori, la solution pourrait ne pas être la même pour tout les z, sauf que l'ensemble de ces solutions est un ensemble discret et que la fonction f doit être continue. Donc c'est forcément la même solution pour tout les z de C : f est constante égale à une des solutions de Ch(Z)=2i.
Après, on peut éventuellement résoudre cette équation, mais maintenant qu'on sait que f, donc exp(f) sont des fonctions constantes, c'est plus rapide d'injecter g(z)=z+Cst dans la formule de départ pour en déduire la/les valeur(s) possible(s) de la constante.

[PROFYANTOUR]

Bonjour,
donc la solution sera comme ça :
Soit h(z) = g(z) - z.
Comme g n’a pas de points fixes,
Alors la fonction entière h n’a pas de zéros.
Donc, il existe une fonction entière f telle que exp(f) = h.
Alors, g(z) = z + exp(f(z))
L’égalité g(z) + g(-z) = 4i donne alors : exp(f(z))+ exp(f(-z))=4i
Ainsi (exp(f(z))+ exp(f(-z)))/2=2i
Ch(f(z))=2i

Alors f(z) est une des solutions de l'équation Ch(Z)=2i
Or l'ensemble de ces solutions est un ensemble discret et que la fonction f doit être continue.
Donc f est constante égale à une des solutions de Ch(Z)=2i.
Ainsi exp(f(z)) est constante
Injectant g(z)=z+C dans l'équation de départ.
Alors; g(z) + g(-z)=4i <=> 2C=4i
Ainsi ; C=2i
Par suite : g(z)=z+2i
Est-ce que c'est correct?

[Ben314]

oui.