Fonction différentiable

[Bill BM]

Sur l’espace des matrices carrées n×n on defini f par f(A)=A², pour toute matrice A .
On montre que f est C1 dérivable et que df(A) = 2A .
On se place au point I (matrice unité). On cherche une application différentiable g définie sur un voisinnage V de I à valeurs dans l’espace des matrices n×n telle que g(A)² = A .


Je ne vois même pas par où commencer.
SVP aidez moi

[le_fabien]

Bonjour,
une question: c'est g(g(A))=A ou g(A)g(A)=A ?
Je penche pour la première mais...

[mathelot]

bjr,

f, en A=I , a une dérivée inversible.
f est localement un difféomorphisme (GL_n est ouvert, pourquoi ?)
et on applique le thm d'inversion locale.

[Bill BM]

Bonjour,
Lefab11, sauf erreur sur l'exo, c'est bien ce que j'ai écri

[le_fabien]

Bonjour,
Lefab11, sauf erreur sur l'exo, c'est bien ce que j'ai écri

Ok je passe la main.J'ai de trop vieux souvenirs :look:

[Bill BM]

Dis Math comment je défini alors la réciproque de f?

[mathelot]

exemple:



localement, la fonction f d'une variable réelle est strictement croissante
(dérivée non nulle cad inversible) et continue donc surjective.

Pour la f(A)=A^2, c'est la même chose
en X=I, f ' est inversible donc f est localement injective,
surjective car f est continue et les espaces vectoriels
ont mêmes dimensions nxn.

On peut donc appliquer un thm d'inversion locale
et appeler =sqrt()

Le seul souçi, c'est que g n'est définie que pour des matrices B "proches" de I
(proximité grâce à la topologie sur GL_n provenant d'une norme matricielle)