Fonction f deux fois dérivables sur R

[Maths-ForumR]

Bonjour,
Voici mon exercice :

L'objectif de l'exercice est de déterminer toutes les fonctions f deux fois dérivables sur R vérifiant :
(E) : f(x,+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)

1) Soit f une fonction vérifiant (E):
a) Prouver que f(0)=0 ou f(0)=1
b) Montrer que si f(0)=0, alors f est la fonction nulle sur R

Dans toute la suite, la fonction f est supposée distincte de la fonction nulle et donc f(0)=1

c) Justifier que f est paire.
d) En considérant les deux membres de (E) comme fonction de y, (x réel quelconque), montrer que : f''(x)=f''(0).f(x)
e) Prouver que f''(0)=0 -> f=1 (fonction cst égale à 1)

2) On traite que les cas ou f est non cst, vérifiant (E)
a)Montrer que f'(0)=0
On pose A=f''(0) avec A différent de 0.

b)Résoudre l'equation y"-Ay=0, en séparant les cas A>0 et A0, on posera : A=a² dans le cas ou A<0 on posera A=-w²

Je suis totalement perdu si quelqu'un veut bien m'aider merci d'avance !

[SLA]

Bonjour,
Voici mon exercice :

L'objectif de l'exercice est de déterminer toutes les fonctions f deux fois dérivables sur R vérifiant :
(E) : f(x,+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)

1) Soit f une fonction vérifiant (E):
a) Prouver que f(0)=0

Ca doit plutot être f(0)=0 ou 1. prendre des valeurs particulières de x et y

b) Montrer que si f(0)=0, alors f est la fonction nulle sur R

prendre un valeur particulière de y.

Dans toute la suite, la fonction f est supposée distincte de la fonction nulle et donc f(0)=1

c) Justifier que f est paire.

Encore un valeur particulière... Sais-tu ce qu'est une fonction paire?

d) En considérant les deux membres de (E) comme fonction de y, (x réel quelconque), montrer que : f''(x)=f''(0).f(x)

Dérivation de fonction composée.

e) Prouver que f''(0)=0 -> f=1 (fonction cst égale à 1)

2) On traite que les cas ou f est non cst, vérifiant (E)
a)Montrer que f'(0)=0
On pose A=f''(0) avec A différent de 0.

b)Résoudre l'equation y"-Ay=0, en séparant les cas A>0 et A0, on posera : A=a² dans le cas ou A<0 on posera A=-w²

Je suis totalement perdu si quelqu'un veut bien m'aider merci d'avance !

Bon j'attend que u fasses le début déjà.
Bon courage

[Maths-ForumR]

Merci pour ta réponse

1) a) peut on prendre x=y=0 ?
Ainsi 2f(0)=2 f(0)² => f(0)=f(0)² valable seulement pour 0 et 1 car 0²=0 et 1²=1.
Suis-je sur la bonne voie ?

1)b) J'ai réussi

1)c) J'ai bien trouvé que la fonction est paire

1)d) Je trouve bien la relation demandée

1)e) Je bloque pour cette question une aide svp ?