Fonction convexe

[ClaireD]

Bonsoir ,
soit f une fonction convexe sur R.
Sachant que l'on a montré pour tout x dans R que la derivée a gauche de x etait inferieure a la derivée a droite de x
et que si x1la derivée a droite de xi est infrieure a la dérivée a gauche de x2
en déduire que l'ensemble des points ou f n'est pas dérivable est de mesure nulle.
Je pense que f est derivable en x si la derivée a gauche de f est continue en x.
Mais comment montrer que la derivée a gauche de f est continue presque partout sur R (sauf sur un ensemble de mesure nulle)?
Merci d'avance.

[busard_des_roseaux]

bjr,

je ne sais pas si ça peut aider. Il me semble :

- la fonction dérivée à gauche


est partout définie, strictement croissante,à variation bornée sur tout
intervalle compact [a,b]. L'ensemble de ses points
de discontinuité, en tant que fonction croissante,à variation bornée, est au plus dénombrable,donc de mesure nulle.

même chose pour la fonction dérivée à droite:

La réunion de leurs ensemble de points de discontinuité est encore dénombrable.

(et puis, évidemment, est la réunion dénombrable
des intervalles [-n;n])

[ClaireD]

Merci beaucoup ça m'aide bien !