Fonction convexe

[Trident]

Salut à tous.

Soit une application différentiable.

On suppose que est strictement convexe et que où est une matrice symétrique définie positive et un vecteur de

Il est écrit dans un cours qu'il existe un unique dans tel que f possède un minimum en et que . J'ai donc quelques questions

1) Admettons qu'un tel minimum existe. Pourquoi vérifie-t-il ?

2) Existe-il un moyen simple de montrer l'existence d'un tel minimum (l'unicité n'est pas dure grâce à la strict convexité) ? Dans ce mini cours, ils utilisent la massue qu'une fonction strictement convexe coercive sur un convexe fermé admet un minimum (ou quelque chose comme ça ..).

Merci pour votre aide.

[mrif]

Pour la question 1) c'est l'application du cours:
f est différentiable en , et elle admet un extremum en ce point donc .

[Trident]

Ah oui c' est vrai et pour la 2), on pourrait dire du coup que comme le gradient de f en X est Ax+b, il existe un point critique (suffit de prendre A^{-1}b) et la hessienne étant définie positive, f possède un minimum en ce point ?

[MouLou]

Oui, mais ce sera un minimum local, il faudra montrer que c'esdt un minimum global a l'aide de la convexcité

[Trident]

Oui, mais ce sera un minimum local, il faudra montrer que c'esdt un minimum global a l'aide de la convexcité

Oui en effet, ce qui est pas très dur. Par contre, faut quand même dire que A est non dégénérée pour dire ce que j'ai dit ? Et ça vient du fait que A n'a que des valeurs propres strictement positives si je ne dis pas de bêtises.

[mrif]

Oui en effet, ce qui est pas très dur. Par contre, faut quand même dire que A est non dégénérée pour dire ce que j'ai dit ? Et ça vient du fait que A n'a que des valeurs propres strictement positives si je ne dis pas de bêtises.

A est inversible donc il existe un seul minimum local solution de l'équation Ax+b = 0.
Comme l'a précisé Moulou, il te reste à montrer que ce minimum local est global.

[MouLou]

Je sais plus trop. Je pense que c'est faux oui.
Le truc c que si une vp est nulle, alors t'as pas forcément de point critique ou alors tas au moins une droite, donc ca chie pas mal :)

[zygomatique]

salut

une matrice symétrique définie positive a toutes ses valeurs propres strictement positives ....

[Trident]

Personne n'a dit le contraire il me semble.

[mrif]

A est inversible donc il existe un seul minimum local solution de l'équation Ax+b = 0.
Comme l'a précisé Moulou, il te reste à montrer que ce minimum local est global.

Correctif:

L'inversibilité de A montre uniquement l'unicité.
Il reste à montrer l'existence qui découle certainement de la convexité, mais je n'ai pas d'idée pour le moment.