Fonction et continuité

[o2pubcy9]

bonjour je m'entraine sur un exercice assez abstrait pouvez-vous m'aider svp ?
voilà
d'après les questions précédentes f est bien continue
je suppose que f(x) ne tend pas vers zéro
donc ensuite je cherche a montrer l'existence d'un réel A positif et on peut choisir B tel que abs((f(B))>A
mais je bloque a cette question....
Ensuite cherche à montrer l'existence de C et D avec C<D tel que si y appartient à [C,D] alors abs(f(y))>A/2
pour cela je suis sur qu'il faut utilise la continuité de f ...

[pascal16]

f admet une limite non nulle en +oo
soit ε>0, ∃ X tel que pour x>X, lim(f)-ε< f(x) <lim(f)+ε (c'est la définition de la limite sans la valeur absolue)

pose ε = lim(f)/2, vu la suite, même ε = lim(f)/3

[infernaleur]

Salut,
tu supposes que la fonction f ne tend jamais vers zéro, écrit donc déjà la définition de lim f(x)=0 (quand x tend vers y), pour voir ensuite à quoi correspond la négation de lim f(x)=0 (quand x tend vers y).

(et attention soit plus rigoureux, il faut que écrives les intervalles de départ et d'arrivée de ta fonction, que tu dise dans quelles ensembles appartiennent A,B etc ...)

[pascal tu as été plus rapide désolé ^^]

[Kolis]

Bonsoir !
Je n'ai pas vu l'énoncé complet mais quand on écrit : " la fonction ne tend pas vers 0 " je ne vois aucune raison de supposer qu'il existe une limite non nulle.

Par conséquent, avec l'énoncé écrit il faudrait aussi envisager le cas où il n'y a pas de limite et, pour la fonction "sinus", le résultat demandé me semble faux.

[pascal16]

Il manque un morceau d'énoncé, qu'est-ce qu'on veut prouver à la fin ?



f continue, f(x) ne tend pas vers zéro .

f(x) n'est pas identiquement nulle, sinon sa limite en + ∞ existerait et serait 0.

[o2pubcy9]

bonjour en fait,
il est admis que f(nx) tend vers 0 quand n tend vers l'infini et je sais que avec B strictement positif
pout tout y dans [x-A;x+A] abs(f(y))<abs(f(x)) + B
je dois prouver qu'il existe n tel que nA<x<(n+1)A ma

[o2pubcy9]

bonjour en fait, f va de R+ dans R
il est admis que f(nx) tend vers 0 quand n tend vers l'infini et je sais que avec B strictement positif
pout tout y dans [x-A;x+A] abs(f(y))<abs(f(x)) + B
je dois prouver qu'il existe n tel que nA<(ou égale)x<(n+1)A mais je bloque ici
j'ai fait un schéma puis un système qui vérifie les deux inégalités mais je trouve un truc impossible....

ensuite c'est ici que je dois prouver que pout tout d strictement positif je eux choisir c tel que abs(fc)>d
ici je dois donc poser d = f(x)/2 peut être ?

enfin je prouver qu'il existe u et v tel que u<v et pout tout k entre u et v abs(f(k))>d/2

Pouvez-me dire comment faire svp ?

[pascal16]

nA<(ou égale)x<(n+1)A
ça dépend de ce qui est fixé/lié et ce qui ne l'est pas, à toi d'apater.

On ne peut pas utiliser les résultats de division euclidienne sur des nombres réels, mais c'est pareil.
A strictement positif
si n existe :
n ≤ (x/A) < (n+1)
par passage à la partie entière
n ≤ E(x/A) < (n+1)

donc en, posant n =E(x/A), on a nA ≤ x < (n+1)A, avec existence si A ≠ 0

[o2pubcy9]

bonjour,
mais oui bien sur la partie entière, l'expression de l'inégalité montrait qu'il fallait utilisé la partie entière.. je l'ai adapté au problème et ca marche merci !
ensuite c'est ici que je dois prouver que pout tout d strictement positif je eux choisir c tel que abs(f(c))>d
ici je dois surement poser poser d = f(x)/2 peut être en procédant par absurde et en posant d=f(x)/2 je trouverais une contradiction...
enfin je prouver qu'il existe u et v tel que u<v et pout tout k entre u et v abs(f(k))>d/2

[pascal16]

Il faudrait qu'on en sache un peu plus sur la fonction.

ton autre poste parle d'une fonction du genre x² cos(1/x) avec laquelle on peut montrer ce que tu cherches.

[o2pubcy9]

non ce n'est pas la même fonction
en je sais également que f(nx) tend vers 0 quand n tend vers l'infini
ici je cherche a montrer que f(nx) ne converge pas vers zéro
f est supposée continue
je dois peut être utiliser la convergence de f(nx) en 0 pour montrer l'existence de d strictement positif tel que abs(f(c))>d...

[pascal16]

relis ton dernier message, il doit y avoir quelques erreurs de frappe.

[o2pubcy9]

Bonsoir,
Voilà
Je sais que f est continue sur R+
Je suppose que f ne tend pas vers 0 en l'infini
Mais alors comment je peux
-montrer l'existence de d positif tel que abs (f (c))>d où c appartient à R+
Montrer qu'il existe a et b avec a <b tel que pour toi y entre a et b abs (f (y))>d/2
Je peux sans doute utiliser les réponses précédentes...

[pascal16]

f n'admet pas 0 comme limite +oo
donc (vérifie que ma négation de la la limite soit juste) : ∃ε>0, ∀X>0, ∃ Xo>X tel que | f(Xo)| > ε

on a montré : l'existence de d positif tel que abs (f (c))>d où c appartient à R+


f continue c
ε (pour la continuité) = ε/2 (de la négation précédente, qui est fixé, c'est une simple existence)
tu écris la continuité en "ε δ"
...
sur [c-δ; c+δ] tu as |f(x)| > ε/2 (de la négation de départ, qui est fixé, c'est une simple existence)

avec les notations de ton premier post :
C=c-δ
D=c+δ
A= ε

[adelec17]

Salut,
tu supposes que la fonction f ne tend jamais vers zéro, écrit donc déjà la définition de lim f(x)=0 (quand x tend vers y) Monte escalier électrique, pour voir ensuite à quoi correspond la négation de lim f(x)=0 (quand x tend vers y).

(et attention soit plus rigoureux, il faut que écrives les intervalles de départ et d'arrivée de ta fonction, que tu dise dans quelles ensembles appartiennent A,B etc ...)

[pascal tu as été plus rapide désolé ^^]

Moi je pense le contraire, mais avec une bonne démonstration, ça devrait le faire.