Fonction concave, lois de probabilité et variance

[math483]

Bonjour,
Voici la question que je me pose :

i) soit U et V, deux variables aléatoires qui suivent des lois de probabilité discrètes P(U=k)=uk, P(V=k)=vk pour k dans [|0,n|]
ii) U et V ont la même espérance
iii) Variance(U) <= Variance(V)
iv) Soit f une fonction concave

Sous les 4 conditions précédentes, a-t-on : somme(uk.f(k))>=somme(vk.f(k)) ? Si oui, comment le démontrer.
Si cette inégalité n'est pas vérifiée, quelles autres hypothèses (les moins restrictives possibles) sur f ou bien U,V pourrait-on faire pour qu'elle le soit ?

En vous souhaitant une bonne journée.

[math483]

Personne n'a d'idée ?

Bonne journée.

[DamX]

Bonjour,

L'intuition de ta question est tout à fait légitime mais non une variance plus grande n'implique pas une espérance sur la fonction concave plus petite dans le cas générale.

Voici un contre exemple. On prend n assez grand (pour pas être embêté) et on définit les deux variables aléatoires suivantes :
* les deux auront une moyenne égale à M ( On prend un M entier vers le milieu de [1..n] Ca marche)

U et V ne peuvent tous les deux prendre que deux valeurs :
U peut valoir M-1 avec proba 3/4, et M+3 avec proba 1/4 (donc de moyenne M)
V peut valoir M+2 avec proba 3/4 et M-6 avec proba 1-4 (donc de moyenne M).
Var(U) = 3/4*1+1/4*9 = 5/2
Var(V) = 3/4*4+1/4*36= 12 > Var(U) bien sur

Et on définit f comme suit :

f(k) = 0 pour k<= M+2, et f(k) = M+2 - k pour k>M+2
(en gros f est constante jusqu'à M+2 puis décroit linéairement au delà)
f est bien concave

Et pourtant on a E[f(V)]=0 (tout le support de V est dans la zone ou f est nulle)
Et E[f(U)] < 0 (lorsque U = M+3, f(U)<0)

Donc E[f(U)] < E[f(V)] ! bien que var(V)>var(U)

Damien

[DamX]

Et en ce qui concerne les hypothèses minimales pour que cette inégalité soit vraie je n'ai pas de réponse catégorique. En tout cas c'est le cas si U et V sont gaussiennes, et je serais tenté de dire du coup que c'est vrai dès que les distributions de U et V sont de la meme "forme". C'est à dire si l'une est un grossissement de l'autre autour de la moyenne, ie V = C(U-M) + M, avec M la moyenne de U et C un facteur multiplicatif >1 (c'est le cas pour les gaussiennes). dans ce cas tu as E(V)=M et Var(V)>Var(U) et je pense que l'inégalité est vérifiée (à vérifier toutefois).

Mais c'est peut être une hypothèse déjà trop forte, on peut peut être trouver plus faible je ne sais pas, j'ai proposé ça comme ça intuitivement.

Damien

[math483]

Merci pour ce contre exemple. Effectivement ce n'est pas toujours vrai. Je vais réfléchir à nouveau sur les conditions de validité.