Salut,
Pseuda a écrit:Bonjour,
Fonction caractéristique de la loi normale ? Si tu veux parler de la fonction de densité, c'est par définition et il manque quelque chose devant.
Nan, c'est bien la fonction caractéristique.
Si X est une variable aléatoire, alors la fonction caractéristique est par définition la fonction notée
définie pour tout réel t par
(où E désigne espérance). C'est une fonction à valeurs complexes qui caractérise la loi de probabilité de la variable aléatoire.
Ici, si X est une loi normale centrée réduite, elle possède une fonction de densité
et donc on peut s'en servir comme calcul d'espérance.
Donc pour tout t,
Après, c'est la technique "classique". Tu écris que :
D'où
Puis on passe à l'intégrale, on sort le
et on calcule classiquement l'intégrale restante qui est du type e^(-X²/2) avec X=x-it (changement de variable qui n'a aucune incidence) et on trouve
qui s'annule avec le
Je te laisse faire les calculs.
Pseudo modifié : anciennement Trident2.