Fonction caractéristique et loi normale

[Aspx]

Bonjour à tous,

Je cherche à partir de la méthode des résidus de calculer la fonction caractéristique d'une variable aléatoire suivant une loi gaussienne d'espérance et de variance .

Pour cela il me faut calculer l'intégrale :

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J'ai pensé prendre pour fonction complexe

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et considérer le demi-cercle supérieur de rayon R. Quand on prend l'intégrale de f sur cette courbe on obtient par le théorème des résidus qu'elle est nulle (car aucun pôle). Il vient donc que l'intégrale recherchée est l'opposée de celle sur le demi-arc de cercle supérieur :

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Déjà suis-je sur la bonne piste ? Si oui comment calculer cette intégrale, je me trompes peut être mais le passage à la limite ne me dit pas grand chose, d'autant plus que des méthodes plus pratiques doivent exister j'imagine, je sens que je passe à côté de quelque chose de plus évident.

Merci par avance.

[Aspx]

Bon tanpis pour la méthode par l'analyse complexe, j'ai trouvé une méthode plus calculatoire mais qui tombe assez rapidement.

On commence par montrer que

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où X suit une loi normale de moyenne et de variance

Il suffit ensuite de faire un changement de variable dans l'intégrale de l'espérance du début et de développer en série entière et appliquer le résultat précédent pour arriver à la conclusion

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[Ben314]

Perso, je procèderais pas vraiment comme ça, principalement du fait qu'il me semble que la méthode des résiduts n'est pas directement appliquable pour le calcul de .

A un petit changement de variable prés, ce que tu veut calculer, c'est l'intégrale avec .
Mais donc où avec et est la droite

C'est là que j'utiliserais le théorème des résiduts et un contour adapté pour faire le lien entre que l'on cherche et que l'on connait...

Edit : Avec la méthode sus-mentionnée, je trouve la même chose que toi...

[Aspx]

Merci pour ton aide! Le contour à choisir j'imagine que c'est le rectangle de largeur R, de hauteur centré au point

Avec cette config je trouve après calculs :

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où désigne la même intégrale mais de -R à R.

Le problème ici c'est que le premier terme du second membre est encore dur à calculer, on retombe sur le même problème, enfin j'imagine que non mais je ne vois pas comment procéder du coup :triste:

[Ben314]

OK pour le contour.

En fait, il ne faut pas calculer l'intégrale de 0 à lambda, mais simplement la majorer : il est assez facile de montrer qu'elle tend vers 0 lorsque R->+oo en utilisant le fait que


En fait, il y a une autre façon de montrer que est constante, c'est en dérivant sous le signe somme (aprés avoir justifié que l'on peu), mais dans ce cas, on n'utilise plus du tout les résiduts...

EDIT :
Dans la formule que tu donne, tu t'est gourré de signe : c'est JR(lambda)=int(...) + JR(0) : quand on parcours le rectangle, on ajoute les deux intégrales, mais l'une est parcourue dans un sens et l'autre dans l'autre sens (et en ajoutant en plus les deux "petits" cotés, on trouve 0 vu qu'il n'y a pas de pôles)

[Aspx]

En effet ! Merci pour ta réponse tout est clair maintenant ! Bien plus classe comme méthode en tt cas ;)