Fonction ne s'annulant pas

[MouLou]

Ben je suis d'accord qu'en pratique c'est presque pareil.
Mais montrer (non B) => (non A) c'est plutôt une démonstration directe de la contraposée, il n'y a pas de conclusion "absurde" à trouver dans un tel raisonnement (heureusement!).

Mais sinon je suis maintenant complètement d'accord avec vous deux maintenant que j'ai compris qu'il pensait que son théorème était juste.

Parfait! on est tous contents alors! :we:

[Laurent Watteau]

Parfait! on est tous contents alors! :we:

Oui !

Note : Je modifié légèrement mon post juste immédiatement au-dessus

[MouLou]

Oui !

Note : Je modifié légèrement mon post juste immédiatement au-dessus

Ok je vais y réfléchir

[marawita1]

Bonjour MouLou,
Jusqu'à maintenant je comprends pas votre argument

Celui ci? Plusieurs choses.

Tu vas pouvoir dire par exemple que pour tout n, il existe tel que .Ta suite est alors telle que . Mais la suite converge t-elle? Tu ne peux absolument pas répondre à ca...

A quoi sert la convergence de la suite ???

Par exemple dans nos contre exemples, la suite tend vers l'infini et tu ne peux rien y faire!

Quelle est la suite (t_n)_n dans le premier exemple?

Par contre si tu te places dans un compact, alors la suite a une valeur d'adhérence, et par continuité la valeur de w en celle ci est nulle

càd si w ne n'annule pas sur [a, b] alors le résultat que j'ai donné au début est correct? et le raisonnement que j'ai donné (par l'absurde) peut marcher dans ce cas???

Merci beaucoup.

[Laurent Watteau]

Bonjour MouLou,
càd si w ne n'annule pas sur [a, b] alors le résultat que j'ai donné au début est correct? et le raisonnement que j'ai donné (par l'absurde) peut marcher dans ce cas???
Merci beaucoup.

Oui.

Une fonction continue sur un compact est bornée et atteint ses bornes.
Autrement dit, il existe une nombre tel que sur .
Dans ton cas, tu dis que la fonction ne s'annule pas donc est strictement positif. il te suffit de choisir par exemple pour avoir l'inégalité stricte .

Dans nos contre-exemples cela ne marchait pas car sur tu as beau te fixer un aussi petit que tu veux, on arrivera toujours à trouver pour lequel et tu seras roulé.

Sur un compact [a,b] cela marcherait car atteint alors sa borne inférieure qui est
Tu choisiras un nombre quelconque dans , par exemple et tu auras gagné.

[MouLou]

Toi tu cherches une valeur qui annule w. Avec le début de ton raisonnement tu dis que tu t approches autant que tu veux de 0, certes mais cela ne t assure pas qu elle s annule, sauf peut être au bord de ton domaine ( a l infini dans nos contre exemple). C est pour cela que je dis qu il fait que ta suite ait une limite, ou au moins un sous suite convergente.

Pour illustrer les contre exemple, on va prendre celui de Laurent qui est plus simple, 1/x. Alors tu prends tout simplement t_n=n. Et plus généralement. N importe laquelle des suites t_n que tu te donnes va tendre vers l infini. C est facile a vérifier si l on remarque que la fonction est strictement décroissante et tend vers 0 a l infini

[Laurent Watteau]

Démonstration par l'absurde dans le cas compact :

On suppose pour tout a>0, il existe t_0 tel que w(t_0) 0 tel que w(t)>=alpha pour tout t.

C'est là qu'est le tournant :
N'oublie pas que pour tout a>0, il existe t_0 tel que w(t_0) =alpha (alpha étant non nul).
C'est impossible. En conclusion l'hypothèse selon laquelle w ne s'annule pas est fausse.

On en déduit donc que w s'annule.

[marawita1]

[U]

On suppose donc que w ne s'annule pas.

Je pense que c'est inutile de dire ça puisqu'on sait que w ne s'annule pas.

N'oublie pas que pour tout a>0, il existe t_0 tel que w(t_0) <= a .

Dans ce cas, peut-on dire directement que w (t_0) =0 ???

[Laurent Watteau]

Je pense que c'est inutile de dire ça puisqu'on sait que w ne s'annule pas.

Non. Encore une fois c'est ça un raisonnement par l'absurde : montrer une chose en supposant son contraire et montrer que ce n'est pas possible. Toi tu instistes pour montrer la contraposée.

Et ce n'est pas vrai que tu sais qu'elle s'annule, c'est ce que tu veux démontrer.

[MouLou]

Je pense que c'est inutile de dire ça puisqu'on sait que w ne s'annule pas.



Dans ce cas, peut-on dire directement que w (t_0) =0 ???

Mais non car t_0 ( on devrait plutôt dire t_a) dépend de a!! Quand tu changes a, tu changes t_a!

Différence pour tout .... Il existe.... Tq ... ,, et il existe .... Tq pour tout ..... On a ....

[Laurent Watteau]

Ce qui est ci-dessous provient de ce lien :

Raisonnement par contraposée :
Il consiste, plutôt que de démontrer l'implication , à démontrer sa contraposée


Raisonnement par l'absurde
Il consiste à démontrer une assertion en vérifiant que sa négation conduit à une contradiction avec les hypothèses. Dans certains cas il se distingue mal du raisonnement par contraposée : si désigne la conjonction des hypothèses et la conclusion, nier et aboutir à une contradiction, revient à démontrer à partir de , ce qui est la contraposée de .

[MouLou]

Ce qui est ci-dessous provient de ce lien :

Raisonnement par contraposée :
Il consiste, plutôt que de démontrer l'implication , à démontrer sa contraposée


Raisonnement par l'absurde
Il consiste à démontrer une assertion en vérifiant que sa négation conduit à une contradiction avec les hypothèses. Dans certains cas il se distingue mal du raisonnement par contraposée : si désigne la conjonction des hypothèses et la conclusion, nier et aboutir à une contradiction, revient à démontrer à partir de , ce qui est la contraposée de .

Ah bah c est ce que je disais en fin de compte!

[Laurent Watteau]

Ah bah c est ce que je disais en fin de compte!

Oui, je n'ai jamais dit le contraire ! :+:

Pour bien résumer, voici une proposition (P) que je vais montrer selon 4 méthodes : démonstration directe, par contraposée, par l'absurde sur la proposition directe, et par l'absurde sur la contraposée.
Moi ce que j'ai fait pour la démonstration de son théorème original dans le cas compact, c'est le 3ème raisonnement. marawita1, lui, fait le 2ème raisonnement mais il continue à parler d'absurde et c'est juste sur ce point que je ne suis pas d'accord. Bien sûr pas dans le cas de l'énoncé initial où la proposition était fausse... CA ON OUBLIE :marteau:





Directe :

CQFD

Contraposée :

La contraposée (C) s'esprime par :

CQFD


Par l'absurde sur (P) :
On a et on suppose que .
Mais . Contradiction puisque .
Donc l'hypothèse est fause et
CQFD

Par l'absurde sur (C) :
On a et on suppose que .
Mais . Contradiction puisque .
Donc l'hypothèse est fause et
CQFD

[marawita1]

[quote="MouLou"]Celui ci? Plusieurs choses.

Tu vas pouvoir dire par exemple que pour tout n, il existe tel que tel que w() <= 1/n, càd la suite (w(t_n))_n tend vers 0.

Or pour tout n, donc elle est bornée par suite elle admet une sous suite convergente vers l élément de [a, b].

Donc je résume tend vers 0 d'une part, et d'autre part, par continuité de w, tend vers w(l).
Par unicité de la limite, on obtient que w(l)=0.
Ce qui est absurde car w ne s'annule pas.
D’où le résultat.

C'est correct ?

[MouLou]

Bonsoir MouLou,
Je reviens à ce résultat si on se place sur un compcat [a, b]: Puisque w ne s'annule pas sur [a, b] , alors il existe a>0 tel que w(t) > a pour tout t dans [a, b].

La preuve directe est simple, mais je veux montrer ça par l'absurde:

Supposons que c'est pas le cas, alors pour tout n, il existe tel que w() <= 1/n, càd la suite (w(t_n))_n tend vers 0.

Or pour tout n, donc elle est bornée par suite elle admet une sous suite convergente vers l élément de [a, b].

Donc je résume tend vers 0 d'une part, et d'autre part, par continuité de w, tend vers w(l).
Par unicité de la limite, on obtient que w(l)=0.
Ce qui est absurde car w ne s'annule pas.
D’où le résultat.

C'est correct ?

Oui c est ça! Qu en est il de l exercice en lui même à la base?

[marawita1]

Oui c est ça! Qu en est il de l exercice en lui même à la base?

Ok merci bien.J'ai pas compris votre dernière phrase!!!!!!!!!!!!!!!

[MouLou]

Ok merci bien.J'ai pas compris votre dernière phrase!!!!!!!!!!!!!!!

Bah a la base ça venait d y exo, montrer qu un espace est complet. Alors si la correction partait d un constat faux j imagine que la preuve est fausse?

[marawita1]

Bah a la base ça venait d y exo, montrer qu un espace est complet. Alors si la correction partait d un constat faux j imagine que la preuve est fausse?

Ah ok. J'ai pas vu le reste du correction (après cette faute.......).

Merci beaucoup une autre fois.