Fonction ne s'annulant pas

[marawita1]

Bonsoir,
J'ai trouvé dans une correction d'un exercice: Puisque w ne s'annule pas sur , alors il existe a>0 tel que w(t) > a pour tout t >= 0,

avec w: -----> ]0, + [ continue.

J'ai pensé que c'est facile de le faire et même c'est évident, mais franchement je n'ai pas pu le démonter.

[MouLou]

Bonsoir,
J'ai trouvé dans une correction d'un exercice: Puisque w ne s'annule pas sur , alors il existe a>0 tel que w(t) > a pour tout t >= 0,

avec w: -----> ]0, + [ continue.

J'ai pensé que c'est facile de le faire et même c'est évident, mais franchement je n'ai pas pu le démonter.

Salut, sur vérifie bien tout ce que tu veux, mais surement pas la conclusion donnée.

L'énoncé est faux, normal que tu puisses pas le montrer

[Laurent Watteau]

Je suis un peu fatigué alors pardonnez-moi si je dis une bêtise mais pour moi c'est faux.

En effet si nous considérons la fonction , on est bien d'accord que cette fonction ne s'annule pas et qu'elle tend vers 0 en l'infini. Or, dans la notion de limite, on a bien le fait que quelle que soit la "tolérance" que tu vas te fixer, tu pourras "passer en dessous".

EDIT: MouLou m'a devancé mais ca me ressure d'avoir la même conclusion. Allez, je retourne voir "Le Mentaliste"... :lol3:

[marawita1]

C'est bizarre!!!!!!! Merci pour cet exemple.

Mais j'ai pensé à l'absurde en ce moment: sps que pour tout a>0, il existe t_0 tel que w(t_0) 0, on a w(t_0) <= a , donc ça donne w(t_0)= 0, ce qui est absurde.
:mur: :mur: :mur: :mur: :mur:
Ce raisonnement est faux?

[Laurent Watteau]

Pourquoi bizarre ? Ce qui me semble étrange, c'est de trouver cela dans un corrigé d'exercice. Tu es certain qu'il n'y a pas d'erreur ? C'est quoi le problème de départ ?

[marawita1]

Tout d'abord le raisonnement que j'ai fait n'est pas correct??
Le problème de départ est:
Soit w : -----> ]0, [ continue. On pose
E_w={f: R_+ ---> R tel que sup (w(x)| f(x) | < + }
muni de la norme

|| f || = sup_x (w(x)| f(x) |

Montrer que (E_w, || ||) est un espace de Banach.

[Laurent Watteau]

[quote="marawita1"]
Mais j'ai pensé à l'absurde en ce moment: sps que pour tout a>0, il existe t_0 tel que w(t_0) 0, on a w(t_0) 0, il existe t_0 tel que w(t_0) <= a alors on a w qui s'annule en un point.
Ca, c'est normalement une proposition que l'on sait fausse et équivalente à celle de départ (sauf erreur).

L'absurdité consisterait donc plutôt à montrer qu'en fait w ne s'annule pas.

[MouLou]

Moi je dirais que ce raisonnement est faux (mais encore une fois, je suis fatigué alors soyez indulgent...)

Avec le raisonnement par l'absurde, tu peux soit réfuter la proposition contraire (et ainsi montrer que la proposition de départ est vraie), soit arriver directement à une absurdité si la proposition de départ est fausse. Nous on est dans ce deuxième cas.

Ici tu choisis manifestement de raisonner sous l'angle de la contraposée de la proposition initiale et tu espères arriver à une absurdité, c'est cela ?

Donc tu supposes que si pour tout a>0, il existe t_0 tel que w(t_0) <= a alors on a w qui s'annule en un point.
Ca, c'est normalement une proposition que l'on sait fausse et équivalente à celle de départ (sauf erreur).

L'absurdité consisterait donc plutôt à montrer qu'en fait w ne s'annule pas.

Pas trop compris. S'il arrivait à montrer qu'elle s'annule en un point, alors il a gagné non? Enfin la pas de chance il peut pas montrer qu'elle s'annule

[marawita1]

J'ai pas bien saisi votre message, en fait pour montrer une propriété par l'absurde, on suppose qu'elle est fausse et il faut trouver une absurdité avec les données que existent.
Ce que j'ai fait exactement: J'ai supposé que la propriété que je voudrais montrer n'est pas vraie càd on a pour tout a>0, il existe t_0 tel que w(t_0) <= a et cela donne que w(t_0)=0. Or ce n'est pas le cas (c'est impossible) puisque on sait que w ne s'annule pas.
Donc ma supposition est fausse.
Quel est le problème? Sincèrement je suis pas convaincu.

[Laurent Watteau]

Je veux dire que A=>B est équivalent à non B => non A.
Mais ici on sait que c'est faux, et pour montrer que c'est faux on voudrait trouver A en même temps que (non B)


Ici le non B c'est le "quelque soit a (etc...) "
et le non A c'est "que la fonction s'annule".

On devrait donc pour un raisonnement par l'absurde arriver à la conclusion qu'elle ne s'annule pas, non ?

Tu n'es pas d'accord MouLou ?

[marawita1]

On devrait donc pour un raisonnement par l'absurde arriver à la conclusion qu'elle ne s'annule pas, non ?

Non ce n'est pas ça: C'est le contraire!!!!

[Laurent Watteau]

Frachement c'est quoi la contraposée du "théorème" que nous propose marawita1 ?

C'est pour moi bien que "Quel que soit a..." implique "la fonction s'annule".

Nous on veut montrer que c'est faux (on le sait, que c'est faux!) donc il faudrait en fait prouver qu'elle ne s'annule pas.

[Laurent Watteau]

Marawita1, tu es d'accord que la proposition initiale est fausse ?
Et donc que sa contraposée l'est aussi ?
Donc qu'on espère mettre la contraposée en défaut ?

Qu'en pensent les autres ? Moi je vais au lit, les idées seront plus claires demain...

[MouLou]

Je veux dire que A=>B est équivalent à non B => non A.
Mais ici on sait que c'est faux, et pour montrer que c'est faux on voudrait trouver A en même temps que (non B)


Ici le non B c'est le "quelque soit a (etc...) "
et le non A c'est "que la fonction s'annule".

On devrait donc pour un raisonnement par l'absurde arriver à la conclusion qu'elle ne s'annule pas, non ?

Tu n'es pas d'accord MouLou ?

Je suis perdu lol, la fatigue pour moi aussi! Mais je vais essayer de répondre.

En fait je crois que on se comprend pas sur ce qu'on veut montrer.
Le raisonnement par l'absurde consisterait à prendre non B et montrer non A. C'est ce qu'à voulu faire marawita, avant qu'on lui explique que le resultat était faux

Toi tu dis que c'est faux, donc on prend une situation ou l'on a non A et B en même temps (c'est ce qu'on a fait en donnant un contre exemple non?) Par contre ce n'est plus du tout un raisonnement par l'absurde mais une simple réfutation par contre exemple.

Voila ce que j'ai compris de la discussion

[marawita1]

Je suis perdu lol, la fatigue pour moi aussi! Mais je vais essayer de répondre.

En fait je crois que on se comprend pas sur ce qu'on veut montrer.
Le raisonnement par l'absurde consisterait à prendre non B et montrer non A. C'est ce qu'à voulu faire marawita, avant qu'on lui explique que le resultat était faux

Toi tu dis que c'est faux, donc on prend une situation ou l'on a non A et B en même temps (c'est ce qu'on a fait en donnant un contre exemple non?) Par contre ce n'est plus du tout un raisonnement par l'absurde mais une simple réfutation par contre exemple.

Voila ce que j'ai compris de la discussion

Ok je suis d'accord avec vous MouLou, mais jusqu'à maintenant j'ai pas trouvé l'erreur dans mon raisonnement!!!!!!!!!! Quel est le problème?

[MouLou]

C'est bizarre!!!!!!! Merci pour cet exemple.

Mais j'ai pensé à l'absurde en ce moment: sps que pour tout a>0, il existe t_0 tel que w(t_0) 0, on a w(t_0) <= a , donc ça donne w(t_0)= 0, ce qui est absurde.
:mur: :mur: :mur: :mur: :mur:
Ce raisonnement est faux?

Celui ci? Plusieurs choses.

Tu vas pouvoir dire par exemple que pour tout n, il existe tel que .Ta suite est alors telle que . Mais la suite converge t-elle? Tu ne peux absolument pas répondre à ca... Par exemple dans nos contre exemples, la suite tend vers l'infini et tu ne peux rien y faire!

Par contre si tu te places dans un compact, alors la suite a une valeur d'adhérence, et par continuité la valeur de w en celle ci est nulle

[Laurent Watteau]

C'est ce qu'à voulu faire marawita, avant qu'on lui explique que le resultat était faux

Alors là je suis d'accord.


En fait raisonner par l'absurde c'est supposer le contraire (à savoir qu'on peut avoir A et non B) et montrer que ce n'est pas possible. Mais ce n'est pas exactement ce que fait marawita... Pour moi, il mène plutôt un raisonnement sur la contraposée (non B) => (non A)

On remplace dans la formule ci dessus A par (non B) et B par (non A)

Dans ce cas là il suppose qu'il a (non B) et non(non A), et il espère arriver à une incohérence.
Mais non(non A), c'est bien A...
(C'est à dire dans notre cas que la fonction ne s'annule pas).
L'incohérence est donc bien dans ce cas que la fonction s'annule.

Donc marawita a raison, et toi aussi, mais en fait je pensais qu'à ce moment là il savit que le théorème était en fait faux.

Bonne nuit les amis ! :lol3:

[MouLou]

En fait raisonner par l'absurde c'est de supposer le contraire (à savoir qu'on peut avoir A et non B) et de monrer que ce n'est pas possible. Mais ce n'est pas vraiment ce qu'il fait... Disons qu'il raisonne sur la contraposée (non B) => (non A)

On remplace dans la formule ci dessus A par (non B) et B par (non A)


Dans ce cas là il suppose qu'il a (non B) et non(non A), et il espère arriver à une incohérence.
Mais non(non A), c'est bien A...

(C'est à dire dans notre cas que la fonction ne s'annule pas).

Bonne nuit les amis ! :lol3:







Le contra

Oui Mais pour moi des que le "A" est une hypothèse du problème, alors montrer que (non B) implique (non A) c'est raisonner par l'absurde, peut etre que c'est un abus, je ne sais pas, mais j'ai toujours appelé cela raisonnement par l'absurde (dans le cas où A est une hypothèse hein)

[MouLou]

Bon et sinon que propose la solution de ton problème?

On prend une suite de cauchy pour ta norme, on montre qu'elle a une limite simple et on essaye d'avoir la convergence pour la norme?

[Laurent Watteau]

Oui Mais pour moi des que le "A" est une hypothèse du problème, alors montrer que (non B) implique (non A) c'est raisonner par l'absurde, peut etre que c'est un abus, je ne sais pas, mais j'ai toujours appelé cela raisonnement par l'absurde (dans le cas où A est une hypothèse hein)

Ben je suis d'accord qu'en pratique c'est presque pareil : dans notre cas :
- par la contraposée on veut montrer que la fonction s'annule
- par l'absurde on veut montrer que la fonction ne peut pas ne pas s'annuler (parce qu'on va arriver à une absurdité en supposant qu'elle ne s'annule pas)

Montrer (non B) => (non A) c'est plutôt une démonstration directe de la contraposée, il n'y a pas de conclusion "absurde" à trouver dans un tel raisonnement (heureusement!).

Sinon je suis complètement d'accord avec vous deux maintenant que j'ai compris qu'il pensait au départ que son théorème était juste. Le truc en fait c'est que maritawa1 n'a jamais fait un raisonnement par l'absurde dans ce cas : Il a juste mécaniquement écrit la contraposée (ce qui est très bien), et s'est rendu compte qu'elle était fausse (mais là il a utilisé le mot "absurde", c'est cela qui m'a perturbé).

Bon allez, deux dolipranes et au lit! :we: