Fonction absolument monotone

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Bonjour,

J'ai besoin d'aide pour cet exercice sur les fonctions absolument monotone, voici l'énoncé de la premiere partie :

[INDENT]Soient D une partie de R et f : D -> une application. Soit I un intervalle non trivial de inclus dans D.
- Lorsque I est un intervalle ouvert du type I = ]a ;b[ (- infini < a < b < +infini) ou I=]a ;+infini[ (a ) ou I = ]-infini ; b[ (b ) ou enfin I = , f est dite absolument monotone (abrégé A.M) sur I lorsque elle est de classe C infini sur I et vérifie : n, xI, (x) 0 avec la convention habituelle = f.
- Lorsque I est du type I = [a ;b[ (-inf < a < b +inf) f est dite AM sur I lorsque elle est AM sur ]a ;b[ et continue en a.
- On définit de manière analogue la monotonie absolue sur les intervalles du type I= ]a ;b] et I= [a ;b].

On notera que si une fonction est AM sur I, alors f est positive et croissante sur I. La réciproque est fausse.

Partie I

1. Soient f1, f2, f3 les fonctions définies par f1(x) = , f2(x) = - et f3(x) = -ln(-x).
Pour chacune de ces fonctions, déterminer le plus grand des intervalles sur lesquels elle est AM.

2. Dans cette question, f désigne la fonction "arc sinus".
a) De quelle bijection f est-elle la bijection réciproque ? Rappeler précisément pourquoi arc sinus est de classe C infini sur I = ]-1;1[.
b) Démontrer que pour tout k *, il existe un polynome tel que
x I, (x)= ^(-k+0.5)
c) Expliciter pour k=1,2,3.
d) Déterminer le degré et la parité de .
e) Montrer que les coefficients des polynomes sont des entiers naturels.
f) Quel est le plus grand intervalle sur lequel f est AM ?[/INDENT]

Pour la 1, je dois montrer dans un premier temps qu'elles sont des classes C infini. Je peux peut etre démontrer par récurrence sur n que pour tout n, existe sur I ?

Pour le reste je sèche

Merci par avance si vous avez des pistes !

[Rha]

Oui le mieux est de prouver la dérivabilité et calculer les dérivées successives sur les bons intervalles ou réunions d'intervalles par récurrence (ce qui demande de faire une conjecture sur la forme de ces dérivées successives).
Ensuite tu peux conjecturer les intervalles maximaux, et vérifier que la monotonie absolue fonctionne sur eux et pas sur des intervalles plus grands les contenant.
Ici il se trouve qu'il y a à chaque fois un unique intervalle maximal, ce qui rend les choses plus simples.


Pour la 2.a), tu peux commencer par dériver .
Tu obtiendras de quoi exprimer la dérivée de .
Si tu as vu le théorème qui dit que si est une fonction réelle sur un intervalle , et si est une fonction sur un intervalle à valeurs dans , alors est sur , tu peux l'utiliser pour justifier le caractère de .