Fobtion trigonométrique hyperbolique

[lisa333]

Bonsoir,

Je dois résoudre le système suivant:
cosh x + cosh y = 35/12
sinh x + sinh y = 25/12

J'ai beau essayer, je n'y arrive pas!...

[seriousme]

Additionner les deux lignes semble intéressant.

[lisa333]

Dans ce cas je peux dire que e^x + e^y = 60/12 car cosh x + sinh x = e^x et idem pour y??
Mais je ne vois toujours pas comment m'en sortir?! :briques:

[seriousme]

60/12 = 5.
En exprimant en fonction de (ou l'inverse) et en remplaçant dans l'une des deux équations pour obtenir une équation ne dépendant que de y (ou x).

[busard_des_roseaux]

bjr,

on peut faire de la trigo hyperbolique:



en divisant membre à membre:



or la tangente hyperbolique est bijective,argth s'exprime avec un log,
donc on peut considérer que la somme x+y est calculée.

En élevant au carré le système initial et en soustrayant,
avec on doit pouvoir calculer

le ch s'inverse localement sur et respectivement en argch() et - argch()
qui sont un logarithme.


On peut en déduire x-y en discutant selon son signe:

x-y >0 puis x-y < 0.

[busard_des_roseaux]

argtanh (ou encore argth) est la fonction réciproque de tangente hyperbolique

car







ou



argch est la fonction réciproque du cosh restreint à R+

car

d'où

[Black Jack]

cosh x + cosh y = 35/12
sinh x + sinh y = 25/12

e^x + e^-x + e^y + e^-y = 35/6 (1)
e^x - e^-x + e^y - e^-y = 25/6 (2)

(1) + (2) = ...
(1) - (2) = ...

Continue, tu devrais arriver à 2 couples solutions:

x = ln(3) et y = ln(2)
x = ln(2) et y = ln(3)

:zen:

[busard_des_roseaux]

Continue, tu devrais arriver à 2 couples solutions:

x = ln(3) et y = ln(2)
x = ln(2) et y = ln(3)

:zen:

je plussoie, je trouve la même chose. Maintenant, tu n'as plus que l'embarras du choix..de la méthode: expo ou trigo.

Avec exponentielle matinée de méthode algébroïde :zen: :

tu calcule et

car le système s'écrit:




puis somme et produit des racines de

[lisa333]

Merci busard_des_roseaux et Black Jack pour votre aide.
J'ai essayé le méthode des expo car je n'ai pas encore étudié la fonction tangente hyperbolique. (cependant je vais ressayer avec cette méthode dès qu'on aura fait le cours dessus car ça m'as l'air bien expliqué!..)
Mais est ce que vous pourriez détailler un peu plus car j'ai beau essayer je n'arrive pas à trouver votre résultats, je dois sûrement faire une "petite erreur" quelque part! :cry:

Merci beaucoup!

[busard_des_roseaux]

re,




Par combinaisons linéaires d'égalités:


en multipliant la seconde égalité par le facteur non nul :



le système initial équivaut alors à:


d'où et sont racines du trinôme

cordialement,

[busard_des_roseaux]

re,




Par combinaisons linéaires d'égalités:


en multipliant la seconde égalité par le facteur non nul :



le système initial équivaut alors à:


d'où et sont racines du trinôme

cordialement,
:doh: :doh:

[lisa333]

Merci beaucoup, j'ai tout compris !!