Fluctuation d'échantillonnage

par **mathelot** » 27 Déc 2006, 20:06

bonjour,
je ne me rappelle plus bien comment "marchent" les convergences
en proba. Je dois expliquer à un élève de seconde la fluctuation
d'échantillonnage sur un exemple: je considère un dé à 6 faces
et S1 une série de 60 lancers, S2 une série de 600 lancers et S3
une série de 6000 lancers. Si je regarde la fréquence de sortie
de la face "1", j'ai une convergence vers un sixième.
Si je fais des répétitions de S1, ça va me donner une loi binomiale
moins ressérée autour de la fréquence de un sixième que des
répétitions de S2. Je ne vois pas comment tout cela se formalise.
Quelles courbes tracer pour visualiser ces phénomènes ?
merçi pour vos précisions

par **BQss** » 27 Déc 2006, 20:21

mathelot a écrit:bonjour,
je ne me rappelle plus bien comment "marchent" les convergences
en proba. Je dois expliquer à un élève de seconde la fluctuation
d'échantillonnage sur un exemple: je considère un dé à 6 faces
et S1 une série de 60 lancers, S2 une série de 600 lancers et S3
une série de 6000 lancers. Si je regarde la fréquence de sortie
de la face "1", j'ai une convergence vers un sixième.
Si je fais des répétitions de S1, ça va me donner une loi binomiale
moins ressérée autour de la fréquence de un sixième que des
répétitions de S2. Je ne vois pas comment tout cela se formalise.
Quelles courbes tracer pour visualiser ces phénomènes ?
merçi pour vos précisions

Il y a deux manieres de procéder et deux notions dans ce que tu dis, l'approche statistique ou tes données tendent a montrer que la loi du resultat d'un lancé est une certaine loi de bernoulli(la loi de la somme etant une loi binomiale).
Et l'approche probabiliste ou tu sais que la somme de tes lancés valant 1 suivent une loi binomiale deja connu et que le resultat d'une face en particulier suit une loi de bernoulli.

On suppose que les resultats de tes lancers Xn sont independants et suivent toute la meme loi de bernoulli de parametre inconnu, si on fait des stats.

On sait que chaque lancé suit une loi de bernoulli ou la probabilité d'avoir un 1 vaut 1/6 et celle de ne pas avoir un vaut 5/6 si on fait ds probas.

Donc plusieurs chose:
Comment justfier que la proportion des lancé qui valent 1 par rapport aux nombres de lancé tend a tendre vers la probabilité d'obtenir un 1 suivant la loi de bernoulli?

On note Xi une variable de loi de bernoulli qui vaut 1 si Xi=1 et 0 si non.
Toute tes lancé Xi sont independants.
On sait alors que:
lim quand n tend vers + infini Sigma[ de 1_n] de [ Xi]/n tend presque surement vers E(Xi) d'apres la loi des grand nombre, c'est a dire vers p=1/6.

Donc la proportion des lancé qui valent 1 tend vers la probabilité d'avoir 1 c'est a dire 1/6...
Donc plus tu lances plus la loi de probabilité du phenomene est representé par sa moyenne Sn=[ Xi]/n.

Comme la suite Sn tend vers E(Xi)=1/6 plus n est grand plus tu te rapproches theoriquement de 1/6 presque surement. Ce qui se traduit par dans tout les cas dans le langage courant Sn-->1/6, cela veut dire que experimentalement si tu faisais l'epreuve d'un lancé une infinité de fois, tu aurais si tu faisais cette experience (d'une infinité de lancé) une infinité de fois, parmis ces tentatives, seuleument quelques unes ou tu ne trouverais pas 1/6.
Ce qui veut dire que pour ainsi dire jamais tu tomberas sur autre chose qu'une moyenne de 1/6 d'apres la loi des grand nombres en faisant l'epreuve d'un lancé un nombre infini de fois.

Par voix de consequence "dans tout les cas"(si on fait le raccourci de presque sur) comme la Sn theorique tend vers 1/6, il arrive un moment ou tu es aussi proche que tu veux de 1/6 du moment que tu as fait l'epreuve un nombre suffisant de fois. Exactement comme le concept de limite.

par **fahr451** » 27 Déc 2006, 20:34

en appelant Zn la fréquence d'apparition du 1 sur n lancers l'inégalité de Bienaymé Tchybicheff appliquée ici fournit un cas particulier d e la loi faible des grands nombres : le théorème de bernoulli

P(I Zn- 1/6 I >epsilon) =< (1/4epsilon^2) X 1/n ce qui justifie que Zn "tend "vers 1/6 .l'inégalité étant d 'autant meilleure que n est grand mais cette inégalité est clairement grossière.

Zn = sigma(1à n ) de Xi /n

par **BQss** » 27 Déc 2006, 20:43

fahr451 a écrit:en appelant Zn la fréquence d'apparition du 1 sur n lancers l'inégalité de Bienaymé Tchybicheff appliquée ici fournit un cas particulier d e la loi faible des grands nombres : le théorème de bernoulli

P(I Zn- 1/6 I >epsilon) =< (1/4epsilon^2) X 1/n ce qui justifie que Zn "tend "vers 1/6 .l'inégalité étant d 'autant meilleure que n est grand mais cette inégalité est clairement grossière.

Zn = sigma(1à n ) de Xi /n

Ca ne justifie pas que l'experience coincide avec la theorie, il faut en dire un peu plus notamment parler du concept de presque sur.
Ta somme Zn est theorique, il faut faire un rapprochement avec la pratique et un raccourci un peu moins court si je peux me permettre mon cher fahr

.

Les Xn dans ta somme sont des variables aleatoire, les Xn en pratique sont des resultats successifs de variable aleatoire suivant cette meme loi. Il y a une petite nuance. Mon gros pavé c'etait pour expliquer comment on passe d e l'un a l'autre, si tu ne parles que de proba tu n'as expliqué que la moitié

...

par **BQss** » 27 Déc 2006, 21:10

Si je fais des répétitions de S1, ça va me donner une loi binomiale
moins ressérée autour de la fréquence de un sixième que des
répétitions de S2. Je ne vois pas comment tout cela se formalise.
Quelles courbes tracer pour visualiser ces phénomènes ?
merçi pour vos précisions

Quand a la loi binomiale tu ne vas parler que de probabilité ici, juste dire que la loi de la somme a tendance a se centrer symetriquement. Quand n tend vers l'infini et que p et q sont de même ordre de grandeur, la loi binomiale converge vers une loi normale d'espérance np, il y avait deux notions differentes dans ton texte mais ca ne concerne pas la meme chose. C'est a dire que tu vois que la moyenne de ta somme des Xi, va avoir tendance a se situer au centre d'un phenomene ou il y a autant de chance d'avoir moins que plus(je parle de théoriquement, ca n'a plus rien avoir avec l'experience, la, juste qu'une loi binomiale tend vers une loi de gauss, ca ca concerne une simulation d'un model de loi connu, la premiere partie de ta question concernait l'experience, c'est a dire une simulation par l'experience. Le premier etait un resultat de statistique/probabilité, celui la n'est qu'un resultat de probabilité)Son centre valant np. Plus tu augmentes le nombre d'epreuves plus la loi du phenomene va s'apparenter a un loi normale continue et tu pourras en tracer la courbe, c'est la gaussienne bien connu.
Ca c'est pour le coté probabilité de la chose.

Pour rendre compte de ce phenomene la tu fais des histogrammes de la loi binomiale(c'est a dire la loi de la somme des variables qui valent 1 si Xi vaut 1, tu avais tendance a melanger loi de la somme et loi d'un lancé dans ton texte) pour p=1/6 en augmantant n tu vas voir que ca va se rapprocher d'une gaussienne qui est la densité de la loi normale.

Pour le truc d'avant, le phenomene statistique ou la proportion de 1 tend vers 1/6, la tu prends des données experimentale(alors que pour l'autre c'est une etude theorique), et tu fais un graphe la c'est plus la somme des Xi qu'on regarde mais la somme Xi sur n.
Tu traces en fonction de n la quantité [somme des Xi/n] (Xi valant 1 si Xi=1 et 0 si non). Et tu constates que quand n grandi l'ordonnée tend vers 1.

par **mathelot** » 27 Déc 2006, 22:18

d'accord, l'idée c'est d'approcher une loi binomiale par une loi normale
et donc d'approcher un histogramme en batons par une courbe en cloche.

par **BQss** » 27 Déc 2006, 22:21

mathelot a écrit:d'accord, l'idée c'est d'approcher une loi binomiale par une loi normale
et donc d'approcher un histogramme en batons par une courbe en cloche.

Si tu n'analyses pas des données experimentales et te contentes de comparer des lois oui, quand n-->+infini la loi binomiale(loi de la somme des Xi, Xi vaut 1 ou 0) tend vers une gaussienne.
Si par contre cela concerne l'analyse des données experimentale pour les resultat de plusieurs lancé successif, c'est a dire des resultats qui valent 1 dans ton cas, cela s'explique notamment par la loi des grands nombres et c'est un probleme different qui concerne la loi de Bernoulli( c'est alors dans ce cas l'approximation asymptotique par une experience répétée d'un phenomene suivant une loi de probabilité ).

par **fahr451** » 27 Déc 2006, 23:44

oui la loi normale c'est dans le théorème central limite que Bqss va nous redémontrer :)

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