Finance

[athena]

Bonjour, voilà j'ai un petit problème de finance: c'est très simple:
Je fais un emprunt D0 = 8 000 000 € remboursable au taux effectif de 9% par 7 annuités progressives au taux g=9%, payables terme échu.
Comment calculer la première annuité a1?

[RadarX]

Bonjour,
Jai failli tenter une reponse; mais en toute rigueur je m'abstiens ne sachant pas les definitions exactes des "taux effectif" et "taux progressifs". Probleme de vocabulaire quoi, je ne suis (malheureusement??? heureusement!?) pas financier et n'ai pas encore emprunté des sous a mon financier. J'aimerais donc bien un petit dessin sur ces notions.

RadarX.

[Chimerade]

Bonjour, voilà j'ai un petit problème de finance: c'est très simple:
Je fais un emprunt D0 = 8 000 000 € remboursable au taux effectif de 9% par 7 annuités progressives au taux g=9%, payables terme échu.
Comment calculer la première annuité a1?

Je pose = ce qui reste dû après i années, donc est la somme prétée. L'intérêt sur 1 an d'une somme S est St (donc t=0.09).

D'aucuns préfèrent considérer qu'à chaque annuité on rembourse les intérêts de la somme totale restant due et une portion du capital pour faire l'annuité. Personnellement, je trouve cette méthode trop compliquée (!). Pourquoi faire compliqué quand on peut faire simple ? Étant donné que l'argent n'a pas d'odeur, j'ai bien le droit de considérer 1 euro comme de l'intérêt ou comme du capital, non ? Donc, je préfère dire que lorsque je paye une certaine annuité, je rembourse un morceau de capital et la totalité des intérêts y afférents.

Donc lorsque je rembourse l'annuité , je rembourse un capital avec ses intérêts soit .
La partie remboursée est donc égale à
Lorsque je rembourse l'annuité , je rembourse un capital avec ses intérêts soit .
La partie remboursée est donc égale à
...
Lorsque je rembourse l'annuité , je rembourse un capital avec ses intérêts soit .
La partie remboursée est donc égale à

À l'issue des 7 années, je dois avoir remboursé la totalité du capital, donc il faut que :





Lorsque l'annuité est une constante a, on remplace dans cette formule les par a. Ici, elle n'est pas constante, elle est multipliée chaque année par le coefficient (1+k) (k=0.09).

On pose , , ... : d'une manière générale :

L'égalité ci-dessus devient alors :



Soit,


Soit encore :



On calcule a donc :



Finalement

[Chimerade]

Bonjour, voilà j'ai un petit problème de finance: c'est très simple:
Je fais un emprunt D0 = 8 000 000 € remboursable au taux effectif de 9% par 7 annuités progressives au taux g=9%, payables terme échu.
Comment calculer la première annuité a1?

Je pose = ce qui reste dû après i années, donc est la somme prétée. L'intérêt sur 1 an d'une somme S est St (donc t=0.09).

D'aucuns préfèrent considérer qu'à chaque annuité on rembourse les intérêts de la somme totale restant due et une portion du capital pour faire l'annuité. Personnellement, je trouve cette méthode trop compliquée (!). Pourquoi faire compliqué quand on peut faire simple ? Étant donné que l'argent n'a pas d'odeur, j'ai bien le droit de considérer 1 euro comme de l'intérêt ou comme du capital, non ? Donc, je préfère dire que lorsque je paye une certaine annuité, je rembourse un morceau de capital et la totalité des intérêts y afférents.

Donc lorsque je rembourse l'annuité , je rembourse un capital avec ses intérêts soit .
La partie remboursée est donc égale à
Lorsque je rembourse l'annuité , je rembourse un capital avec ses intérêts soit .
La partie remboursée est donc égale à
...
Lorsque je rembourse l'annuité , je rembourse un capital avec ses intérêts soit .
La partie remboursée est donc égale à

À l'issue des 7 années, je dois avoir remboursé la totalité du capital, donc il faut que :





Lorsque l'annuité est une constante a, on remplace dans cette formule les par a. Ici, elle n'est pas constante, elle est multipliée chaque année par le coefficient (1+k) (k=0.09).

On pose , , ... : d'une manière générale :

L'égalité ci-dessus devient alors :



On voit que l'on a ici une série géométrique. Si la raison de cette série est différente de 1, la sommation donne :



Mais justement, dans votre exercice, on a choisi t=k, d'où . L'expression ci-dessus se réduit dans ce cas à :



D'où , et

Il va de soi que la plus petite unité de compte étant 0,01 euro, vous serez obligée d'arrondir cette quantité à 1245714,28 ou à 1245714,29 !

[athena]

Salut merci c'est gentil de t'être penché sur la question. En fait ce n'est pas un problème réel (je me suis mal exprimée: sincèrement désolée) c'est un exercice d'examen de finances. Donc ce n'est pas moi qui vais emprunter demain ce capital... Le taux effectif, c'est le taux qui court sur la durée de l'emprunt, pour le calcul des intérêts, i.e.on aura les premiers intérêts I1 = ie * D0 où ie est le taux effectif.
Le taux g = 9%, lui, signifie que les annuités forment une suite géométrique dont la raison est 1+g =1,09. On aura donc par la suite: a2 = 1.09 a1, ... an=1.09^(n-1) * a1, donc a7 = 1.09^6 * a1.
Les annuités pourraient être constantes, tjs les mêmes au cours du temps. Dans ce cas, je sais calculer la première annuité avec ma calculette financière, mais je ne connais pas vraiment la formule pour avoir le résultat.
Pour des versements en progression géométrique, je ne sais pas le fiare avec la calculatrice, et je n'arrive pas à trouver la formule qui permet de faire cela.
Voilà. Merci bien

[athena]

Merci beaucoup Chimerade !! C'est très clair merci. :we:

[Chimerade]

Donc ce n'est pas moi qui vais emprunter demain ce capital...

Je crois que tout le monde avait compris que c'était un exercice. Les particuliers capables d'emprunter 8000000 euros (à un taux dément !) et de rembourser en 7 ans en payant 1245714,29 euros la première année, ça ne court pas les rues... :ptdr:

[Anonyme]

C'est bien l'idee que j'avais des taux et des annuites.
Chimerade l'a compris et a traité le probleme avec brio, je lui serre la main pour ca; donc autant pour moi! Surtout que je ne l'aurais pas redigé avec latex, c'aurait ete incomprensible quoi!
Par ailleurs... oui! En effet c'est bien un exo meme si Bill Gates pourrait se permettre un tel emprunt (faudrait encore qu'il en ait besoin)!

RadarX

[RadarX]

C'est bien l'idee que j'avais des taux et des annuites.
Chimerade l'a compris et a traité le probleme avec brio, je lui serre la main pour ca; donc autant pour moi! Surtout que je ne l'aurais pas redigé avec latex, c'aurait ete incomprensible quoi!
Par ailleurs... oui! En effet c'est bien un exo meme si Bill Gates pourrait se permettre un tel emprunt (faudrait encore qu'il en ait besoin)!

RadarX

[athena]

lol oui bien sûr !! Mais je sais pas, j'aurais pu être le directeur financier d'une société par exemple.... mais non, je suis juste étudiante en maths appliquées ;) :happy2:

[athena]

Bon et bien puisqu'on y est, est-ce que vous sauriez ce qu'est la nue- propriété d'un emprunt, et comment la calculer après avoir fait le tableau d'amortissement de l'emprunt? Ensuite on calcule l'usufruit qui est D0 - NP.
merci d'avance !

[SAGE63]

bonjour



I - LES FORMULES DE MATHEMATIQUES FINANCIERES



A - LA FORMULE GENERALE


Dans le cadre de l'étude des emprunts, la valeur actuelle ou le capital à l'origine d'une suite d'annuités (de fin de période) en progression géométrique, on a la formule suivante :

V(0) = { a / (1+i) ⁿ } * { [ qⁿ - (1+i ) ⁿ ] / [ q - (1+i) ] }

avec :

V(0) = C = capital emprunté à l'origine
a = montant de la première annuité
i = taux d'intérêt périodique de l'emprunt
q = raison de la progression géométrique des annuités
n = nombre d'annuités

Pour résoudre ce problème on a :

V(0) = C = capital emprunté à l'origine = 8 000 000,00
a = montant de la première annuité = à calculer
i = taux d'intérêt périodique pour 1 de l'emprunt = 0,09 pour 1 soit 9,00 %
q = raison de la progression géométrique des annuités = 1,09
n = nombre d'annuités 7
et on obtient :
(1+i) = 1,09
(1+i) ⁿ = 1,828039121
q = 1,09
q ⁿ = 1,828039121


B - FORMULE PARTICULIERE quand q = (1+i)


Et, dans le cas particuliers qui nous intéresse, quand on a :

q = (1+i)

on obtient la formule suivante, après la levée de l'indétermination :

V(0) = C = n * a * (1+i) ˉ¹


C - APPLICATION : RESOLUTION D'UN PROBLEME QUAND q = (1+i)


Dans cette application on a :

8 000 000,00 = 7 * a * 1,09 ˉ¹
8 000 000,00 = 7 * a * 0,91743119266
8 000 000,00 = 6,4220183486 a
a = 8 000 000,00 / 6,4220183486
a = 1 245 714,2857143

Le montant de la première annuité est de 1 245 714,2857143 arrondi à 1 245 714,29

NB : Formule appliquée et montant trouvé par CHIMERADE dans son message du 2 septembre 2005 à 23h56



II - LE TABLEAU D'EMPRUNT



Comme son nom l'indique, un "tableau d'emprunt" se présente sous forme de "tableau".
Par contre, sur ce site, je ne sais pas présenter de tableau.
D'après les calculs ci-dessus, on obtient le tableau d'emprunt suivant, présenté sous forme de liste :

ANNEE 1

Capital restant dû en début d'année : 8 000 000,0000
Annuité remboursée : 1 245 714,2857
Intérêt 9 % compris dans l'annuité : 720 000,0000
Montant de l'amortissement du capital : 525 714,2857
Capital restant dû en fin d'année : 7 474 285,7143

ANNEE 2

Capital restant dû en début d'année : 7 474 285,7143
Annuité remboursée : 1 357 828,5714
Intérêt 9 % compris dans l'annuité : 672 685,7143
Montant de l'amortissement du capital : 685 142,8571
Capital restant dû en fin d'année : 6 789 142,8572

ANNEE 3

Capital restant dû en début d'année : 6 789 142,8572
Annuité remboursée : 1 480 033,1428
Intérêt 9 % compris dans l'annuité : 611 022,8571
Montant de l'amortissement du capital : 869 010,2857
Capital restant dû en fin d'année : 5 920 132,5715

ANNEE 4

Capital restant dû en début d'année : 5 920 132,5715
Annuité remboursée : 1 613 236,1257
Intérêt 9 % compris dans l'annuité : 532 811,9314
Montant de l'amortissement du capital : 1 080 424,1943
Capital restant dû en fin d'année : 4 839 708,3772

ANNEE 5

Capital restant dû en début d'année : 4 839 708,3772
Annuité remboursée : 1 758 427,3770
Intérêt 9 % compris dans l'annuité : 435 573,7539
Montant de l'amortissement du capital : 1 322 853,6231
Capital restant dû en fin d'année : 3 516 854,7542

ANNEE 6

Capital restant dû en début d'année : 3 516 854,7542
Annuité remboursée : 1 916 685,8409
Intérêt 9 % compris dans l'annuité : 316 516,9279
Montant de l'amortissement du capital : 1 600 168,9131
Capital restant dû en fin d'année : 1 916 685,8411

ANNEE 7

Capital restant dû en début d'année : 1 916 685,8411
Annuité remboursée : 2 089 187,5666
Intérêt 9 % compris dans l'annuité : 172 501,7257
Montant de l'amortissement du capital : 1 916 685,8409
Capital restant dû en fin d'année : 0,0002



III - DETERMINATION DE L'USUFRUIT et de la NUE-PROPRIETE



Dans un tableau d'emprunt on a les élèments suivants :

a) L'annuité est constituée d'une part d'intérêt et d'autre part d'amortissement.


b) la valeur actuelle des annuités est égale au capital emprunté en appliquant le taux d'intérêt de l'emprunt

c) la valeur actuelle, estimée dans les mêmes conditions que les annuités, des INTERETS
contenus dans ces annuités est appelée USUFRUIT TOTAL DE L'EMPRUNT.


d) la valeur actuelle, estimée dans les mêmes conditions que les annuités, des AMORTISSEMENTS
contenus dans ces annuités est appelée NUE PROPRIETE TOTALE DE L'EMPRUNT.


PREMIERE PARTIE : CALCUL DE LA VALEUR ACTUELLE DES ANNUITES


Le taux d'évaluation de l'emprunt est de 9,00 % l'an soit 0,09 pour 1 par an
(cas particulier car le taux est aussi celui du taux d'intérêt)

ANNEE 1 ::: 1 245 714,2857 / 1,090000000000 = 1 142 857,1428
ANNEE 2 ::: 1 357 828,5714 / 1,188100000000 = 1 142 857,1428
ANNEE 3 ::: 1 480 033,1428 / 1,295029000000 = 1 142 857,1428
ANNEE 4 ::: 1 613 236,1257 / 1,411581610000 = 1 142 857,1428
ANNEE 5 ::: 1 758 427,3770 / 1,538623954900 = 1 142 857,1428
ANNEE 6 ::: 1 916 685,8409 / 1,677100110841 = 1 142 857,1428
ANNEE 7 ::: 2 089 187,5666 / 1,828039120817 = 1 142 857,1428
TOTAL des ANNUITES (première colonne) 11 461 112,9102
TOTAL VALEUR ACTUELLE DES ANNUITES(dernière colonne) 7 999 999,9999

somme égale au capital emprunté de 8 000 000,0000 car le taux d'évaluation de l'emprunt est égal au taux d'intérêt , dans ce cas particulier.


DEUXIEME PARTIE : CALCUL DE LA VALEUR ACTUELLE DES INTERËTS : L'USUFRUIT


Le taux d'évaluation de l'emprunt est de 9,00 % l'an soit 0,09 pour 1 par an
(cas particulier car le taux est aussi celui du taux d'intérêt)

ANNEE 1 ::: 720 000,0000 / 1,090000000000 = 660 550,4587
ANNEE 2 ::: 672 685,7143 / 1,188100000000 = 566 186,1075
ANNEE 3 ::: 611 022,8571 / 1,295029000000 = 471 821,7562
ANNEE 4 ::: 532 811,9314 / 1,411581610000 = 377 457,4050
ANNEE 5 ::: 435 573,7539 / 1,538623954900 = 283 093,0537
ANNEE 6 ::: 316 516,9279 / 1,677100110841 = 188 728,7025
ANNEE 7 ::: 172 501,7257 / 1,828039120817 = 94 364,3513
TOTAL des INTERETS (première colonne) 3 461 112,9104
TOTAL VALEUR ACTUELLE DES INTERËTS (dernière colonne) 2 642 201,8349

L'USUFRUIT TOTAL DE L'EMPRUNT est de 2 642 201,8349 arrondi à 2 642 201,83


TROISIEME PARTIE : CALCUL DE LA VALEUR ACTUELLE DES AMORTISSEMENTS : La NUE-PROPRIETE


Le taux d'évaluation de l'emprunt est de 9,00 % l'an soit 0,09 pour 1 par an
(cas particulier car le taux est aussi celui du taux d'intérêt)

ANNEE 1 ::: 525 714,2857 / 1,090000000000 = 482 306,6841
ANNEE 2 ::: 685 142,8571 / 1,188100000000 = 576 671,0354
ANNEE 3 ::: 869 010,2857 / 1,295029000000 = 671 035,3866
ANNEE 4 ::: 1 080 424,1943 / 1,411581610000 = 765 399,7379
ANNEE 5 ::: 1 322 853,6231 / 1,538623954900 = 859 764,0891
ANNEE 6 ::: 1 600 168,9131 / 1,677100110841 = 954 128,4403
ANNEE 7 ::: 1 916 685,8409 / 1,828039120817 = 1 048 492,7916
TOTAL des AMORTISSEMENTS (première colonne) 7 999 999,9998
TOTAL VALEUR ACTUELLE DES AMORTISSEMENTS (dernière colonne) 5 357 798,1650

LA NUE PROPRIETE TOTALE DE L'EMPRUNT est de 5 357 798,1650 arrondi à 5 357 798,17


QUATRIEME PARTIE : VERIFICATION


1) Première vérification : Les flux financiers

TOTAL des ANNUITES 11 461 112,9102 arrondi à 11 461 112,91 est égal au
TOTAL des INTERETS 3 461 112,9104 arrrondi à 3 461 112,91
TOTAL des AMORTISSEMENTS 7 999 999,9998 arrrondi à 8 000 000,00

2) Deuxième vérification : Les valeurs actuelles

L'USUFRUIT TOTAL DE L'EMPRUNT est de 2 642 201,8349 arrondi à 2 642 201,83
LA NUE PROPRIETE TOTALE DE L'EMPRUNT est de 5 357 798,1650 arrondi à 5 357 798,17

Soit un total de 7 999 999,9999 arrondi à 8 000 000,00

montant égal à
* la valeur actuelle des annuités soit 7 999 999,9999 arrondi à 8 000 000,00
* au capital emprunté, car le taux d'évaluation de l'emprunt est égal au taux d'intérêt , dans ce cas particulier, soit : 8 000 000,00


CINQUIEME PARTIE - REMARQUE TRES IMPORTANTE


Souvent on a un taux d'évaluation des emprunts (de l'usufruit et de la nue-propriete) différent du taux d'intérêt dudit emprunt.