Finance et risque : approche moyenne variance

[RD15]

Bonsoir

Dans un livre de Finance (Aswath DAMODARAN, Finance d’entreprise, De Boeck, 2006, page 251), j’ai trouvé la notation suivant concernant l’approche moyenne-variance pour définir le risque: «la distribution de rentabilité ne peut pas être normale et donc on ne peut pas utiliser la notion de variance-moyenne pour évaluer le risque».

Je ne comprends pas pourquoi si l’on prend une distribution de rentabilité qui à la forme d’une moitié de distribution normale, par exemple, l’on ne peut pas appliquer la notion de variance-moyenne pour mesurer le risque. Autrement dit en quoi la dispersion autour de la moyenne (et non pas d’un seul coté) est-elle importante?

Pour information, dans le cadre d'un prêt comme le montant de remboursement est fixe, le risque n'est qu'à la baisse (avoir une défaillance du débiteur) avec une forte probabilité de remboursement à l'échéance (le banquier prend peu de risque). D'où la forme en moitié de cloche.



Merci par avance pour votre aide.
Rémy

[alben]

Bonjour,

Ben oui, la distribution de rentabilité ne peut être normale, ça vient du fait que le profit est anormal.
Plus sérieusement, l'approche que tu évoques consiste à se fixer une probabilité maxi de perte et à calculer l'espérance de gain maximum sous la contrainte fixée par le seuil de risque.
Pour faire ces calculs, on fait une hypothèse de normalité des rendements.
Sans cette hypothèse, la méthode de ne serait pas calculable. On peut toujours utiliser une distribution plus conforme à la valeur que l'on étudie mais il alors les calculs deviennent très compliqués, les formules habituelles ne sont plus utilisables...

[RD15]

Merci Alben.
En fait ce que je ne comprends pas c'est pourquoi la mesure de l'écart type n'est pas significative si la distribution n'est pas symétrique?

En tout cas merci pour la rapidité de ta précédente réponse.
Rémy

[alben]

Si la distribution est éloignée d'une loi normale, l'écart-type est parfaitement significatif mais ce que tu ne vois pas c'est qu'entre écart-type et risque, il y a une démarche intermédiaire.
Qu'est-ce qu'un risque ? C'est la conjugaison d'une proba (celle de perdre) et d'un montant (celui de la perte).
On pourrait dire que c'est l'espérance calculée sur la partie défavorable de la courbe.
C'est quelque chose de différent de l'écart-type.
Dans le cas d'une loi normale, on peut passer d'un concept à l'autre. Si la loi n'est pas gaussienne, le passage n'est plus le même, particulièrement si elle n'est pas symétrique.
On peut construire un exemple si ça t'aide

[RD15]

oui pourquoi pas.
Si j'ai bien compris :
La distribution de rentabilité d'une action est normale (en fait log-normale mais peu importe pour l'exemple). Son espérance mathématique est par ex de 10%. Donc la proba est la même que mon action gagne + de 10 % (= gain) ou moins de 10% (= perte). Comme l'écart type mesure l'écart autour de la moyenne qui correspond au point où il n'y a ni perte ni gain, alors l'écart type est une bonne mesure du risque (de gain ou de perte).

Mais si la distribution n'est plus normale alors l'écart type sera calculé autour d'une espérance mathématique qui ne correspondra plus au point où en qq sorte il n'y a ni gain ni perte.

Est-ce que c ça?

[alben]

La distribution de rentabilité d'une action est normale (en fait log-normale mais peu importe pour l'exemple). Son espérance mathématique est par ex de 10%. Donc la proba est la même que mon action gagne + de 10 % (= gain) ou moins de 10% (= perte).

Cela n'est vrai que si la distribution est symétrique

Comme l'écart type mesure l'écart autour de la moyenne qui correspond au point où il n'y a ni perte ni gain, alors l'écart type est une bonne mesure du risque (de gain ou de perte).

Si l'on appelle "risque", la somme des pertes (mesurées par les ecarts négatifs entre les 10 % attendus et le % obtenu) pondérées par la proba que ça se réalise. De même appellons "chance" la somme des gains (taux obtenu-10 %) pondérés par les probas de réalisation.
On a bien toujours Chance = Risque puisque 10 % est l'espérance math.
Mais le lien entre ces grandeurs et l'écart type dépend de la loi de proba.
Par exemple
loi normale
loi uniforme
loi géométrique
etc...

[Isomorphisme]

Bonjour,

Pour revenir à la question initiale, c'est assez curieux car dans la théorie du portefeuille, il n'y a aucune hypothèse a priori sur la loi du taux de rentabilité.

Dès lorsque celui-ci peut être modélisé à l'aide d'une loi admttant au moins un moement d'ordre deux, on peut toujours tracer une stratégie dans un repère moyenne-variance.
Seulement, la loi normale (ou log-normale) est bien pratique car elle est entièrement déterminée par ses deux 1ers moments (cf. sa fonction caractéristique).

Par conséquent, si on modélise les taux de rentabilité par une loi à support positif (ce qui est "naïf"), pour peu qu'elle admette un moment d'ordre 2, il est toujours possible théoriquement de tracer une strarégie dans un repère moyenne-variance.

La notion de risque est assez subjective et il n'y a pas de définition universelle.