J'ai un devoir maison pour mardi constitué de deux exercices sur les suites. Je sollicite votre aide pour compléter mes recherches.
Exercice 1 :
Posons U1 = 1/4 , U2 = (1 x 3) / (4² x 2!) et pour tout entier n;)3 :
Un = (1 x 3 x ... x (2n - 1)) / (4^n x n!)
Démontrer l'égalité Un+1 / Un < 1/2 . En déduire que la limite de la suite (Un).
Pour la première partie j'ai posé A = Un+1/Un - 1/2 et j'ai développé en arrivant à A = -1 soit A < 0 et donc Un+1/Un < 1/2. Je pense que cette méthode est acceptable !?
Par contre je coince pour en déduire la suite de la limite car je ne vois pas d'où repartir pour déduire quelque chose de ce qui précède ...
Exercice 2 :
Pour tout entier n
1, posons Un = (1) + (2) + ... + (n)a) Montrer par récurrence que l'on a Un
n;)n / 2 pour tout entier n 1. En déduire la limite de n / Un.b) Posons Vn = U(2n) - Un. Démontrer l'inégalité n;)(n+1)
Vn n;)(2n). En déduire la limite de Vn / n et la limite de Vn / n².Pour la question a), j'ai réussi à démontrer que cela est vrai pour n = 1. J'ai supposé la proposition vraie pour un entier naturel p et je suis arrivé jusqu'à :
Up+1
Up + (p+1) mais je n'arrive pas à ramener ceci à : Up+1
(p+1) (p+1) / 2Je ne peux donc pas en déduire la limite ...
Pour la b) je vais m'y mettre après car elle doit avoir un rapport avec la a).
Merci d'avance pour votre aide à ces deux exercices. :++:
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