Fibonacci / coefficient binomiaux

[ThomasG456]

Bonjour j'ai un problème avec ma récurrence double :
Je dois montrer que Fn= somme (k=0 jusqu'à n) (n-k k)
avec (n-k k) le coefficient binomial de k parmis n-k.


On a la suite de Fibonacci : F0=1 et F1=1 et Fn+2=Fn+1 + Fn

Pour l'initialisation pas de soucis mais je bloque pour l'hérédité. Je voudrais utiliser le triangle de Pascal. Je sais que se sont la somme des diagonale en partant du bas vers le haut mais je vois pas comment l'utiliser. De plus en colonne on a (n k-1) + (n k) = (n+1 k)


Je suis partis de :

Fn+2=Fn+1 + Fn = somme ( k=0 jsuqu'a n+1) (n+1-k k) + somme (k=0 jusqu'a n) (n-k k)


et à la fin je veux :
Fn+2= somme( k0 jusqu'a n+2) (n+2-k k)

Mais je n'arrive pas relier les deux bouts ... :mur:

[Sake]

Bonjour j'ai un problème avec ma récurrence double :
Je dois montrer que Fn= somme (k=0 jusqu'à n) (n-k k)
avec (n-k k) le coefficient binomial de k parmis n-k.


On a la suite de Fibonacci : F0=1 et F1=1 et Fn+2=Fn+1 + Fn

Pour l'initialisation pas de soucis mais je bloque pour l'hérédité. Je voudrais utiliser le triangle de Pascal. Je sais que se sont la somme des diagonale en partant du bas vers le haut mais je vois pas comment l'utiliser. De plus en colonne on a (n k-1) + (n k) = (n+1 k)


Je suis partis de :

Fn+2=Fn+1 + Fn = somme ( k=0 jsuqu'a n+1) (n+1-k k) + somme (k=0 jusqu'a n) (n-k k)


et à la fin je veux :
Fn+2= somme( k0 jusqu'a n+2) (n+2-k k)

Mais je n'arrive pas relier les deux bouts ... :mur:

Salut,

en vertu du triangle de Pascal.

Considérons seulement . On remarque que ce terme contient un terme nul pour k = 0, donc la sommation peut très bien commencer à 1 :

.

Posons , alors :



Maintenant, on a :



Remarquons finalement que la première somme de droite a un terme qui s'annule en k = n+1 et la deuxième somme a un terme qui s'annule en k = n+2, ce qui conclue :

[ThomasG456]

Merci beaucoup !

Une autre question consiste a résoudre l'équation Fn=n. La je n'ai aucune idée de comment commencé la résolution.
Est il possible d'avoir une piste de résolution pour savoir comment commencé ?
Merci encore !

[Sake]

Merci beaucoup !

Une autre question consiste a résoudre l'équation Fn=n. La je n'ai aucune idée de comment commencé la résolution.
Est il possible d'avoir une piste de résolution pour savoir comment commencé ?
Merci encore !

, et puis montre que F est une suite convexe.

[ThomasG456]

Déjà j'ai F0=F1=1, de plus je n'ai jamais appris ce qu'étais une suite convexe ni comment le montrer du coup ...

[Sake]

Déjà j'ai F0=F1=1, de plus je n'ai jamais appris ce qu'étais une suite convexe ni comment le montrer du coup ...

Bon ben du coup t'as car et avec ta définition.

Moi aussi j'ai pas appris ce qu'est une suite convexe, je viens de voir sur le net qu'il existe une définition non standard pour ce genre de comportement (cf. Centrale 1979). L'idée m'est simplement venue des fonctions convexes...

Alors une idée de démo que je te propose, c'est de montrer que (F) est une suite strictement convexe pour , i.e.

Edit : J'ai changé quelques petits trucs, pardon.

[ThomasG456]

Enfaite je ne crois pas bien comprendre la question. Il nous demande de résoudre Fn=n donc il faut trouver la valeur n non ?

Et j'ai F1=1
F2=2
F3=3
F4=5
F5=8 et non F5=5 ?
Donc les solution son n=1,n=2,n=3

[Sake]

Enfaite je ne crois pas bien comprendre la question. Il nous demande de résoudre Fn=n donc il faut trouver la valeur n non ?

Et j'ai F1=1
F2=2
F3=3
F4=5
F5=8 et non F5=5 ?
Donc les solution son n=1,n=2,n=3

Raaaah flûte j'étais encore avec MA définition de la suite de Fibo où , etc.

Ben du coup ça change pas grand chose, les solutions sont 1,2,3 comme tu dis et il faut juste prouver que (F) est strictement convexe pour n > 3.

PS : C'est pas vraiment "MA définition de la suite de Fibo" d'ailleurs, c'est la définition de l'OEIS qui est une autorité en la matière.

[ThomasG456]

Je ne peux pas prouver que Fn est croissante en montrant par récurrence que Fn+3>Fn+2+Fn+1 ?

[Sake]

Je ne peux pas prouver que Fn est croissante en montrant par récurrence que Fn+3>Fn+2+Fn+1 ?

Déjà c'est faux. On a ... Et puis fais gaffe aux parenthèses aussi, ton écriture donne envie de se pendre ((

Le truc, c'est montrer qu'on a l'égalité vérifiée pour quelques premiers termes puis la suite commence à s'infléchir et l'idée derrière ça c'est qu'elle croît de plus en plus vite. On n'a pas d'outil tel que la dérivation pour les suites, qui sont indexées par N (ou une famille de N), c'est pour cela qu'on peut parler selon moi de "convexité" dans un cadre discret cette fois-ci.
Le parallèle peut te sembler artificiel, mais la transformation d'Abel par exemple est un cas qui montre qu'on peut extrapoler des résultats d'analyse continue à des cas discrets.

[zygomatique]

Merci beaucoup !

Une autre question consiste a résoudre l'équation Fn=n. La je n'ai aucune idée de comment commencé la résolution.
Est il possible d'avoir une piste de résolution pour savoir comment commencé ?
Merci encore !

salut

il suffit de montrer par récurrence que à partir d'un certain rang ...

ce qui est élémentaire ....