par Ben314 » 23 Mai 2018, 12:06
Salut,
Je sais pas ce que tu as vu en topologie, mais si tu a un tout petit peu de connaissances, c'est immédiat :
L'ensemble des polynômes de degré <= n, c'est un espace vectoriel de dimension finie donc sur lequel toutes les normes sont équivalentes et qui est complet (pour n'importe quel norme).
Et comme c'est un espace complet, si on le regarde comme une partie de n'importe quel e.v.n "plus gros" (y compris de dimension infini), il sera évidement fermé.
Bref, tout s.e.v. de dimension finie d'un e.v.n. (de dimension quelconque) est toujours fermé.
Et là où on voit que c'est exactement ça le problème, c'est que la question que tu pose, à savoir de comment montrer que tout les coeff. sont nuls à partir d'un certain rang, ça revient à montrer que, si ta suite P_n de polynôme converge vers P pour la norme infinie donnée par l'énoncé alors chacun des coeff. de P_n converge vers le coef.. correspondant de P et ça revient à montrer que la C.V. pour la norme infini donnée par l'énoncé implique la convergence "terme à terme" pour les coeffs, c'est à dire la C.V. pour la norme "max des coeffs". Bref, ça revient bel et bien à montrer que deux normes données sont équivalentes sur l'espace en question.
Et comme de montrer que toutes les normes sont équivalentes sur un e.v. de dim finie, c'est pas super facile (en tout cas, ça tient pas 2 lignes sur un brouillon), c'est pas étonnant que tu ait du mal à le retrouver dans un cas particulier comme ici.
Résumé : Le théorème qui dit que toutes les normes sont équivalentes sur un e.v. de dim finie est très important, à la fois par le nombre de fois où il est utile, mais aussi (surtout) parce qu'il n'a pas une preuve "élémentaire" qu'on peut refaire/retrouver à chaque fois qu'on a besoin du résultat.
P.S. : Est ce qu'on t'a démontré ce résultat ou bien te l'a t-on fait admettre ?
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
