Faut il une réciproque ?

[steph]

Bonjour, voici un exo et les questions que je me pose.

Soit M l’espace vectoriel des matrices carrées d’ordre 2 : A= a c b d (désolé amath ne permet pas d'écrire ma matrice sous forme colonne; l'ordre d'écriture est l'ordre de lecture ligne 1pour les 2 premiers puis ligne 2 pour b et d)


Soit E1= 1 0 0 1 E2 = 0 0 1 0 E3 = 0 1 0 0 et E4 = 0 00 1
1) Démontrer que le quadruplet (E1 E2 E3 E4) est une base de M. Quelles sont les coordonnées de A= ac bd dans cette base.

Solution proposée :
Pour démontrer que le quadruplet est une base je montre d’abord que le système est libre (ceci ne pose pas de problème) puis je montre qu’il est générateur.
Pour cela j’écris la matrice A, élément quelconque de M, comme combinaison linéaire du quadruplet.
On remarque que A= aE1 + bE2 + cE3 + (d-a)E4
Donc on en déduit que le quadruplet forme un système générateur de M.. et donc une base

Question Faut il ici faire une réciproque avant d’en conclure que le système est générateur et donc (puisque libre forme une base) ? il me semble que ce n’est pas nécessaire !
Le réciproque serait (immédiate) de montrer que tout combinaison linéaire des vecteurs E1 E2 E3 et E4 est une matrice de M ?
En effet si on ne vérifie pas ça, on pourrait (pas dans cet exemple bien sûr) tomber sur une combinaison qui ne serait pas un élément de M… mais cela poserait il vraiment problème ? Cela empêcherait il de dire que c’est un système générateur ?

Merci pour votre aide.

[Galt]

Tu as montré que le système est générateur. Il n'y a pas besoin de "réciproque" (forcément, une combinaison l'inéaires d'éléments d'un EV est aussi un élément de cet EV)

[steph]

oui forcément !!
mais est ce uniquement pour cette raison qu'il na faut pas de réciproque où est ce qu'il n'y en a pas besoin de toute façon ?