Familles liées et polynôme minimal

[Anonyme]

Si f est un endomorphisme de E, et que pour tout x dans E, (x,f(x),...,f^n(x)) est liée, est-il vrai que le polynôme minimal de f est de degré inférieur ou égal à n ? Si oui, comment le prouver (on connaît le résultat pour n=1) ?

[Ben314]

Salut,
Ca me semble vrai, mais la seule preuve qui me vient à l'esprit utilise la décomposition en blocs de Jordan (qui demande à plonger le corps de base dans sa cloture algébrique...)

[Nightmare]

Salut,

Sauf erreur, il existe un vecteur x tel que le polynôme minimal de x par rapport à f (ie le générateur de l'idéal engendré par tous les P tels que P(f)(x)=0) soit exactement le polynôme minimal de f. Et le problème est alors réglé. Pour prouver ce résultat, on décompose le polynôme minimal de f en facteurs irréductibles et on utilise le théorème de décomposition des noyaux.

[Anonyme]

Merci beaucoup :)