Famille sommable

[arno]

comment demontre t on que la famille des (-1)^n/n n'est pas sommable?

[yos]

bonjour.
c'est parce qu'elle n'est pas absolument sommable.

[El_Gato]

Salut,

c'est parce qu'elle n'est pas absolument sommable.

Une précision s'impose ici: La notion de sommabilité d'une famille avec I dénombrable ne peut être définie, dans le cas général, que par une notion d'absolue sommabilité: c'est l'absence d'une structure d'ordre standard sur I qui impose ce choix. La sommabilité de la famille impose une indépendence sur la réorganisation des termes de la famille quand on somme, ce qui équivaut à une notion de convergence commutative, c'est à dire, dans le cas complet, de convergence absolue.

Mais lorsque I est, comme dans le cas ici, l'ensemble des entiers naturels, qui est muni d'une structure d'ordre linéaire standard, alors on a la notion de série qui est plus générale et plus intéressante. Et dans un tel cas, la non-convergence de la série des modules n'entraine pas la divergence.

En l'occurence, dans le cas de , on a ici une série qui n'est pas absolument convergente mais qui est semi-convergente (c'est même le prototype d'une telle série) donc convergente.

Ainsi on devrait dire, je pense, que n'est pas absolument sommable, mais comme l'ensemble des indices est ici cette famille est quand même sommable, en ce sens particulier de la semi-convergence.

Cette difficulté est particulièrement présente dans la théorie des fonctions analytiques de plusieurs variables. Les traités classiques présentent une théorie générale des fonctions analytiques en toute dimension. Cela nécessite un passage par une version "famille sommable" du lemme d'Abel, et de tous les théorèmes qui en découlent.
Mais en fait le cas d'une seule variable, réelle ou complexe, conduit à une théorie différente parceque on n'a pas besoin de la notion de sommabilité dans un tel cas, et que la notion de convergence plus classique fournit alors un cadre un peu différent.

[yos]

sommable=absolument sommable=commutativement sommable, et ce terme ne concerne que les familles. C'est bien d'une famille dont parle arno.

on a la notion de série qui est plus générale et plus intéressante

Plus générale?? dans le sens où elle ne concerne que les familles indéxées par N ??

Plus intéressante?? ça se discute.

Plus simple en tout cas

[El_Gato]

C'est bien d'une famille dont parle arno.
Plus simple en tout cas

Oui mais la famille qu'il donne correspond en fait à une série. Donc avec son exemple on se retrouve avec une famille non sommable mais qui est en fait aussi une série convergente.

Je ne sais pas ce qu'Arno avait proprement en tête: convergence ou sommabilité ?

De fait, quand l'ensemble des indices est IN, c'est en général à la théorie des séries que l'on fait référence, théorie que je ne trouve personnellement pas plus simple que celle des familles sommables. Je dirais même que c'est plutôt le contraire.

[El_Gato]

Et d'ailleurs au fond, la théorie des familles sommables se réduit à peu près au théorème d'associativité.

Tandis que la théorie des séries, elle va nettement plus loin.

[yos]

Salut El Gato.
J'ai pas eu le temps de te répondre et pourtant tu mérites une réponse. Alors je prends quelques minutes.
Tout d'abord tu ne nous a toujours pas dit si c'est toi ou ta soeur sur la photo. Mais je m'égare.

De fait, quand l'ensemble des indices est IN, c'est en général à la théorie des séries que l'on fait référence, théorie que je ne trouve personnellement pas plus simple que celle des familles sommables. Je dirais même que c'est plutôt le contraire.
Hier 12h04

C'est un fait, plus l'ensemble des indices est compliqué, plus la théorie est simple!
D'ailleurs chacun sait que les bons profs enseignent les familles sommables avant les séries. Ces dernières étant enseignées en première année, je pense qu'on devrait faire les familles sommables en terminale.
Et il est bien connu que les intégrales multiples sont plus faciles que les intégrales simples (c'est pour ça qu'on les enseigne en seconde sur Gatoland) d'ailleurs leur théorie se limite au théorème d'asssoc.., pardon de Fubini.
Allez j'arrête.

[El_Gato]

Yos,

Je me demande si tu fais exprès de ne pas me comprendre. Ce que j'ai dit c'est ceci: la théorie de la sommabilité est une théorie de "convergence absolue", par nécessité, car on ne peut faire autrement. Quand je dis que la théorie des séries est plus complexe, c'est dans le sens que d'autres types plus subtils de convergence y sont étudiés.

[yos]

J'ai pas pu m'empêcher d'être ironique, désolé.
Sur le fond, je ne suis pas d'accord de toute façon. Une série est une simple suite (et toute suite est une série) et de ce fait on peut l'étudier simplement, par exemple au lycée, si on ne prononce pas le mot série etc. Pour ce qui est de la théorie générale, le point essentiel est l'absolue convergence comme pour les intégrales "impropre"; on a supprimé la semi-convergence des intégrales des programmes de prépa en 95 (est-ce revenu, je ne sais pas?) et on a simplement parlé d'intégrabilité (ex-convergence absolue). Les techniques sont exclusivement d'une sorte (comparaison), les règles de Raabe, Duhamel, D'Alembert ne sont que des comparaisons. Pour les familles sommables, c'est pareil on ne fait que comparer...sauf que c'est nettement plus délicat. Par exemple la famille est sommable ssi et c'est déjà un bel exercice.

Pour les séries on peut parler en plus de semi-convergence. Le seul résultat essentiellement est la règle d'Abel (la règle des séries alternées en est un cas particulier). Après on peut parler de séries divergentes et les faire converger en quadratique ou autre mais c'est marginal comme activité.

Comme tu l'as bien dit les séries entières ont leur équivalent sommable (pour plusieurs variables) : je n'y connais rien mais je doute que ce soit plus simple que les séries entières.

Bon, c'est pas l'affaire du siècle.