Famille libre de vecteurs

[linkereover]

Bonjour,

Si l'on pose, pour , , la famille est-elle une famille libre de ?

Intuitivement, j'aurais tendance à dire que "oui", mais je ne vois pas du tout comment m'y prendre...

Merci d'avance pour votre aide.

[mathelot]

Bonjour,
on peut faire une démonstration par récurrence sur n

l'hypothèse de récurrence au rang n s'écrit:
est une famille libre".

est vraie.


On suppose vraie.
On considère une combinaison linéaire de nulle
Les sont (n+1) réels quelconques.

Posons
est identiquement nulle.

On dérive deux fois
puis on élimine le terme entre les deux égalités
puis on applique l'hypothèse de récurrence.

[linkereover]

Ok, merci beaucoup !