Famille libre

par **log86** » 02 Sep 2008, 18:28

Bonsoir j'ai trouvé dans un livre ( non corrigé ) l'exercice suivant
Soit

Montrer que la famille

r appartenant à R ,est libre.
La seule indication que j'ai c'est qu'il faut dériver.

Mon problème c'est que je ne vois pas du tout comment je peux commencer car r appartient à R donc je ne peux pas raisonner par récurrence sur r.
Parce que même si je considère

et

je n'arrive pas à le montrer:
j'ai

mais si je dérive j'ai

mais je ne vois pas
auriez vous une idée s'il vous plait?
Merci

par **miikou** » 02 Sep 2008, 18:34

salut,
fr(x) + fr1(x) +.... frn(x) = 0 equivaut a |x-r| + .. |x-rn| = 0
equivaut a|x-r|= .. = |x-rn|=0
equivaut a r= .. = rn

par **miikou** » 02 Sep 2008, 18:39

salut, tu peux raisonné par reccurence
si la propriete est vrai pour fr1,.....,frn
tu considere fr1,.... frn+1
a1|x-r1| + ... + an|x-rn|+ a(n+1) |x-r(n+1)|= 0 est vraie pour tout x dans IR, en particulier en x=r1, la conclusion s'en suit

par **log86** » 02 Sep 2008, 18:43

Salut miikou comment puis je raisonner par récurrence alors que r appartient à R et non à N?
merci

par **miikou** » 02 Sep 2008, 18:44

je viens de modifier, il faut raisonné par reccurence sur le nombre de fonction de la famille :)

par **log86** » 02 Sep 2008, 18:56

çà veut dire que si je considère
a1|x-r1| + ... + an|x-rn|+ a(n+1) |x-r(n+1)|= 0 est vraie pour tout x dans IR, je prends en particulier x=r1 et j'ai donc
a2|r1-r2|+...+ an|r1-rn|+ a(n+1) |r1-r(n+1)|= 0
mais pourquoi forcément a2=a3=...=an=an+1=0? je comprends que chaque |r1-ri| sera non nul mais pourquoi je pourrais pas avoir a2=-a3 , a4=-a5 ...?
je sais pas si tu vois mon problème

par **miikou** » 02 Sep 2008, 19:00

oui mais par hypothese de reccurence pn est vraie donc toute famille n element est libre vu que tu as elimite a1 , il te reste n element dans la somme, tu vois ce que je veux dire ?

par **log86** » 02 Sep 2008, 19:03

oui merci je comprends ce que tu dis

merci bien

par **abcd22** » 02 Sep 2008, 19:27

miikou a écrit:oui mais par hypothese de reccurence pn est vraie donc toute famille n element est libre vu que tu as elimite a1, il te reste n element dans la somme, tu vois ce que je veux dire ?

Ça ne marche pas, l'hypothèse de récurrence est « si

sont des réels tels que pour tout réel x,

, alors

. Là on a seulement un x donné pour lequel on a l'égalité, ce n'est pas du tout suffisant pour appliquer l'hypothèse de récurrence.

En utilisant la non-dérivabilité de la valeur absolue en 0 : si pour tout réel x,

, on suppose que

.
La limite de la dérivée de f à gauche en r_1 est

, la limite à droite est

...

par **miikou** » 02 Sep 2008, 19:34

a oui exact merci de mavoir corriger imod

par **log86** » 03 Sep 2008, 15:43

Bonjour merci abcd22
cela m'étonnais un peu que la dérivée n'interviennent pas alors qu'on me le disait.
Merci

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