Famille libre de polynômes

[magnum]

bonjour,

Je cherche à montrer que la famille suivant est libre mais je n'y arrive pas

( (1+X)^n, X(1+X)^(n-1), X²(1+X)^(n-2) ...., X^n))

j'essaie de dériver , évaluer en des pts mais ça ne marche pas .

Merci d'avance !

[Doraki]

Une récurrence ça marche bien.

[leon1789]

...ou directement (si on connait le déterminant de van der monde) en divisant tous les polynômes par X^n (et travailler dans le corps Q(X) ).

[magnum]

tu pourrais détailler la récurrence STp en le faisant je vois que ça ne marche pas très bien.

[Doraki]

Suppose que tu aies a0.X^n + a1.(1+X).X^(n-1) + ... + an.(1+X)^n = 0.
Ca veut dire X[ a0.X^(n-1) + ... + a(n-1).(1+X)^(n-1)] + an.(1+X)^n = 0
Montre d'abord que an est nul, ensuite tu pourras te ramener à l'intérieur du crochet, c'est-à-dire, le cas (n-1).

[magnum]

merci j'ai réussi à prouver qu'elle était libre et donc une base de Rn[X]. J'ai réussi à trouver les coordonnées de 1 dans cette base.
On me demande d'en déduire les coordonnées de X^(n-k) et de X^p pour p entre 1et n et là je bloque. Merci de ton aide.

[Doraki]

euh.. X^p = X^p * 1 ?
Suffit alors de remplacer 1 par un truc bien.

[magnum]

lol désolé mais je ne comprend pas .
pour déterminer les coordonnées de 1 j'ai écrit

(1+X-X)^n et j'ai développé mais après ?

[leon1789]

lol désolé mais je ne comprend pas .
pour déterminer les coordonnées de 1 j'ai écrit

(1+X-X)^n et j'ai développé mais après ?

Même ruse, mais un cran en dessous