Famille libre indénombrable.

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Doraki
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Famille libre indénombrable.

par Doraki » 05 Juil 2010, 23:12

On admet que e est transcendant.

1) Montrez qu'il existe une séquence d'entiers (an) telle que toute combinaison linéaire infinie à coefficients entiers, bornés, et non tous nuls, de {e^-an} est non nulle

2) Montrez qu'il existe un ensemble X de parties infinies de N, indénombrable, tel que pour tous I,J de X, l'intersection de I et J est finie.

3) En déduire que la famille indénombrable

est libre sur Q.



ffpower
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par ffpower » 06 Juil 2010, 00:16

Question con mais je préfère être sur pour pas partir sur du HS :
Libre=Libre sur Q?

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Ben314
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par Ben314 » 06 Juil 2010, 00:25

Je comprend pas trop l'énoncé :
Vu la définition des , n'a t'on pas forcément ?
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

Doraki
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par Doraki » 06 Juil 2010, 10:49

Ah oui tiens comment j'ai pu ne pas m'en rendre compte.
C'est pas grave il faut juste une autre petite question intermédiaire.

windows7
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par windows7 » 06 Juil 2010, 12:32

on doit avoir an -> +infini

on remarque aussi que pour tout k dans IN on ne peut pas avoir an = o(n^k)

ce qui permet de penser a un certain an :zen:

tu m'as deja posé la 2) en privé donc je ne vais pas tricher ..

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Ben314
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par Ben314 » 07 Juil 2010, 09:19

Pour la question 1), les coeff. des "combinaisons linéaires infinie", clairement, ils sont pas dans R (sinon, ça marche pas) mais ils sont dans Z (cas dans lequel j'entrevois une méthode) ou dans Q (cas dans lequel j'entrevois pas gras...) ?

Pour la 2), je propose d'associer à tout réel l'ensemble (où désigne la partie entière de )
Il est clair que est infini et que, si alors est fini.
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Doraki
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par Doraki » 07 Juil 2010, 09:53

Ils sont dans Z, pardon.
Dans R ça marche clairement pas, et dans Q..., avec un nombre fini de coefficients distincts, c'est la même chose que dans Z, mais avec une infinité de coefficients distincts, je sais pas.

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Ben314
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par Ben314 » 07 Juil 2010, 10:57

Dans ce cas, pour le 1), je verrais bien une construction par recurrence :
On prend par exemple puis, pour , si sont construit, on considère le minimum des lorsque décrit l'ensemble fini privé de .
Comme est trancendant, et on peut donc choisir un tel que .
Sauf erreur, ça marche...

La déduction du 3) est alors assez évidente...
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Doraki
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par Doraki » 07 Juil 2010, 11:20

je suis pas sûr que e^-an < en/n soit une contrainte suffisante, vu que le produit des (1-1/n) tend vers 0.

Sinon le reste marche bien, et oui le 3 est là juste pour la conclusion.

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Ben314
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par Ben314 » 07 Juil 2010, 12:40

Bon, esssayons de rédiger...
On a et tels que soient non tous nuls.
Sauf erreur, par définition de et, comme

On en déduit que
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