Famille libre+génératrice

[ilies77]

Re bonjour, je me demandais si mon raisonnement était bon, étant donné une absence de mon prof de TD nous n'avons pas pu corriger nos exo et je ne retrouve plus son mail pour lui demander ceci :


soit E un e-v de dimension n
Si une famille S de E est libre , et contient n éléments, engendre t-elle forcément E ou non?

Parce que pour moi la famille étant libre les éléments de celle-ci sont linéairements indépendants, et si elle possède n éléments indépendants , tout en étant dans E, elle devrait l'engendrer non?



Merci d'avance

[ilies77]

D'ailleurs je pense que j'aurais même pu ajouter S contient n éléments OU PLUS en suivant cette façon de penser .. J'ai quand même un vague doute

[chombier]

Oui, si E est de dimension n, tout famille libre de n éléments est une base, et donc engendre E.

En revanche, si une famille a plus de n éléments, elle n'est pas libre. Donc ton "au moins n" reste vrai mais n'apporte rien et prête un peu à confusion.

[ilies77]

Ah oui bien évidemment j'ai voulu trop en faire et j'ai ajouté une ânerie, en tout cas merci ça me conforte pour les exercices