Factoriser polynôme N-racine

[Hatchi]

Bonjour a tous,

Voici l’énoncé de l’exercice:

Soit n≥0 un entier et P un polynôme de degrés n tel que,pour tout entier 0≤k≤n,P(k)= k/(k+1).
L’objectif de cet exercice est de déterminer
P(n + 1).

Voici la question de l’exercice :

(1) Soit le polynôme Q = (X + 1)P − X. Factoriser complètement, a une constante multiplicative α près



J’ai réussi à trouver que Q a pour racine k.

Et que k représente tout les entier de 0 à n.

Q possède donc n+1 racine ce qui signifie qu’il est de degrés n+1.

Et je n’arrive pas écrire Q en fonction de ses racines


Pouvez m’aider à résoudre cette question ou alors me donner des indications s’ils vous plaît ?

Merci d’avance

[lyceen95]

Quand un polynôme Q a 2 racines a et b, ça veut dire que ce polynôme s'écrit
S'il a n+1 racines, qui sont les entiers entre 0 et n, ça veut dire que ce polynôme s'écrit :

Cette écriture avec les ... pour représenter un certain nombre de termes, ça devrait être accepté.
Mais on écrit aussi sous cette forme :



Tu ne connais peut-être pas cette convention, avec , mais tu connais sûrement une autre convention avec .
Avec le symbole Sigma, on fait la somme de plein de termes, définis par les bornes k=0 à n par exemple.
Avec le symbole Pi, c'est très comparable, sauf qu'au lieu de faire la somme de plein de termes, on fait leur produit.

[Hatchi]

Bonjour merci beaucoup de votre réponse

J’avais pensé a cette écriture avec le pi majuscule mais dans la suite de l’exercice avec cette écriture ça me pose encore problème car on me demande : « de montrer que
Q(-1) = 1 et en déduire alpha »

Et avec cette écriture je ne vois pas comment faire

[lyceen95]

Q est défini ainsi : Q(x) = (x+1)P(x) -x

On te demande de calculer Q(-1).
Je pense que tu sais faire.

Ensuite, le calcul de alpha ... c'est immédiat.

On obtient très facilement une formule un peu tordue : alpha = ... ...
On doit même voir apparaître la fonction 'Factorielle' dans la forme finale.