Factorisation polynome de degré 4

[zouzou8]

Bonjour le forum,

Je joins à ce message l'énoncé de deux exercices qui ne seront pas corrigés en cours ; j'aurais besoin d'un peu d'aide sur le 2.26.
http://drive.google.com/file/d/1n3DqRMj0bLVaNVJWvqWUv1--lH47gdG4/view?usp=sharing

Question 1 : pas de souci =>
Question 2 : il s'agit de trouver la méthode avec le moins de calculs possibles. Pour l'instant, ma méthode a été de tout développer puis réduire. C'est assez rapide (4 lignes de calcul) car il y a des identités remarquables un peu partout, mais j'imagine que si la question est posée ainsi, c'est qu'il doit y avoir une subtilité ^^. Auriez-vous des pistes ?
Question 3 : je ne la comprends pas ... peut-être parce que je n'ai pas trouvé la méthode la plus efficace en question 2 ...

En vous remerciant pour vos retours !

[Landstockman]

Pour la 2) je ne sais pas trop ce qui est attendu, mais en écrivant la décomposition en facteurs premiers du polynôme associé à f c'est assez rapide.
Du coup pour la 3) il suffit de changer l'ordre de multiplications des facteurs :

[Sa Majesté]

Salut,

Question 1 : pas de souci =>

C'est

Question 2 : il s'agit de trouver la méthode avec le moins de calculs possibles. Pour l'instant, ma méthode a été de tout développer puis réduire. C'est assez rapide (4 lignes de calcul) car il y a des identités remarquables un peu partout, mais j'imagine que si la question est posée ainsi, c'est qu'il doit y avoir une subtilité ^^. Auriez-vous des pistes ?

Je séparerai

Et je développerai le (a+b)(a-b)

[aviateur]

Bonjour
Pour la question 2 avec le moins de calcul possibles.
Calcul numéro 1 (de tête) 1 annule chacun des facteurs (du polynôme p ci-dessous)
Calcul numéro 2 (de tête) (produit des racines)
Calcul numéro 3 (de tête)
(-somme des racines)

Cela implique que le polynôme p:


Ceci montre que p a les mêmes racines que le polynôme palindromique f et vu que les termes de plus haut degré sont les mêmes, alors p=f.

[zouzou8]

Merci beaucoup pour vos réponses ! Cela m'a bien aidé.

@ Landstockman : avec ta méthode, je retombe bien sur l'énoncé proposé ! Celle d'Aviateur nécessite moins de calculs ; enfin, j'ai l'impression.

@ Sa Majesté :
J'ai effectivement fait une erreur de frappe ... Je tombais bien sur ce que tu proposes Merci pour la coquille.

@ Aviateur :
Je comprends bien ton calcul, merci. C'est le plus court, avec seulement 3 lignes, de ceux que j'ai pu faire.
Par contre, on n'a pas croisé le terme "polynôme palindromique". On nous a défini un polynôme réciproque comme : , avec et deux réels quelconques. C'est la même chose ?

[aviateur]

oui, c'est la même chose mais j'aime bien le terme palindrome.
Donc si x est racine 1/x est racine. On a déjà 1 est racine double. Il y a deux autres racines inverses l'une de l'autre. Le produit des racines de p vaut 1. Ce qui montre que les deux racines racines (autres que 1) sont inverse l'une de l'autre. La seconde condition à vérifier est la somme des racines qui vaut 5 (comme pour f).
Tout cela montre que p et f ont les mêmes racines.
C'est vrai que la question "avec le moins de calculs possibles" c'est pas classique. Mais j'entends par là, des calculs quasi immédiats.

[LB2]

Bonjour,

le truc fondamental que personne n'a dit c'est quand même que si P(x) est une expression polynomiale "palindromique" comme vous dites, de degré pair, alors l'équation P(x)=0 peut s'écrire comme une équation Q(z)=0 en posant z=x+1/x. L'avantage c'est que le degré de Q est la moitié du degré de P. On appelle ça des "équations réciproques de degré pair"

Ce procédé est généralisable en remplaçant z par tout polynôme symétrique en x...

[aviateur]

Bonjour @LB2 tout à fait d'accord avec toi. Je suis parti du fait que pour faire la question 2 avec un minimum de calculs, il. Y a une contrepartie c'est que l'on connaît ce que tu dis sur un polynôme réciproque. Donc en résolvant Q.(z)=0 on trouve 2 racines (réelles ou complexes)en tenant compte de la multiplicité) et ensuite 4.racines par paires de 2inverses l'une de l'autre on a déjà 1 racines double et 2 autres x1 et x2 inverse l'une de l autre. C'est alors utilisé pour justifier la question2