Factorisation dans R[X]

[jonses]

D'accord mais comment parvenez-vous à le déterminer en ayant E(-x)=-E(x)-1 ?

Je note avec x réel non entier

alors

et

donc

on a bien

[cpS]

Je note avec x réel non entier

alors

et

donc

on a bien

Ok. Merci j'ai compris, ça marche.

Egalement j'ai une autre question indépendante que je ne parviens pas à démontrer, la voici:
Bonjour,

Je dois démontrer ces deux propositions:

si f(x)=x alors (f;)f)(x)=x
et
si (f;)f)(x)=x alors f(x)=x

Mais je ne sais pas comment montrer d'abord la première proposition puis la deuxième sachant qu'on m'indique que la deuxième je dois la démontrer par l'absurde avec les deux cas suivant: f(x)>x et f(x)<x

pouvez-vous m'aider svp? merci par avance

[jonses]

J'imagine que f est définie sur R

si f(x)=x alors (f;)f)(x)=x

Cette proposition est immédiate :
Supposons que pour tout réel x, f(x)=x

Soit x un réel,

alors (fof)(x)=f(f(x))=f(x)=x et ce pour tout réel x

si (f;)f)(x)=x alors f(x)=x

Cette proposition est fausse, prendre par exemple la fonction f définie par ,
on a bien pour tout x de R : pour autant on a pas f(x)=x

[cpS]

J'imagine que f est définie sur R



Cette proposition est immédiate :
Supposons que pour tout réel x, f(x)=x

Soit x un réel,

alors (fof)(x)=f(f(x))=f(x)=x et ce pour tout réel x



Cette proposition est fausse, prendre par exemple la fonction f définie par ,
on a bien pour tout x de R : pour autant on a pas f(x)=x

Certes je suis d'accord avec votre dernière démonstration, mais je dois le démontrer par l'absurde comme je vous l'ai dit, mais sans doute il vous manque les autres informations de mon énoncé: les voici:
U une partie de R et f une application de U dans U strictement croissante

[jonses]

Certes je suis d'accord avec votre dernière démonstration, mais je dois le démontrer par l'absurde comme je vous l'ai dit, mais sans doute il vous manque les autres informations de mon énoncé: les voici:
U une partie de R et f une application de U dans U strictement croissante

Ah oui avec la stricte croissance ça change tout :zen:

Donc f est une application de U dans U strictement croissante
Supposons que pour tout x de U

Supposons par l'absurde qu'on dispose de c dans U tel que

Deux cas sont à distinguer comme tu l'as proposé :

Si alors et on aboutit alors à ce qui est encore une contradiction

Donc cela montre ( démo faite par l’absurde) que pour tout c de U

(remarque : il n'y a pas de problème de définition avec f(f(c)) vu que f va de U dans U)

[cpS]

Ah oui avec la stricte croissance ça change tout :zen:

Donc f est une application de U dans U strictement croissante
Supposons que pour tout x de U

Supposons par l'absurde qu'on dispose de c dans U tel que

Deux cas sont à distinguer comme tu l'as proposé :

Si alors et on aboutit alors à ce qui est encore une contradiction

Donc cela montre ( démo faite par l’absurde) que pour tout c de U

(remarque : il n'y a pas de problème de définition avec f(f(c)) vu que f va de U dans U)

D'accord, merci beaucoup pour ces explications.

Enfin, j'aurai quelques dernières questions au sujet d'un exercice sur des dérivés successives avec formule de Taylor et Binôme de Newton. Pourriez-vous m'aider svp?

Voici l'énoncé:

Pour n € N, on considère le polynôme Pn € R[X], défini par:

Pn(X)= {(X^n)(1-X)^n} over {n!}

On veut montrer que Pn, ainsi que tous ses polynômes dérivés, prend des valeurs entières en 0 et 1.
1. Quel est le degré de Pn ? Que peut-on en déduire du problème posé?

==> j'ai trouvé que deg(Pn)=2n

2.Dans cette question, on considère le cas de la valeur 0.
a. quel est l'ordre de multiplicité de la racine 0? Que peut-on en déduire?
... et autres questions, mais on va d'abord commencer par le début! :doh:

Seriez-vous me donner des indications concernant la résolution de ces questions?

Vous en remerciant par avance pour toute aide apportée


PS: connaissez-vous un logiciel ou autre pour écrire en formule mathématique qui soit facile d'utilisation pour rendre ce que j'écris plus facile à lire?

[jonses]

Pour n € N, on considère le polynôme Pn € R[X], défini par:

Pn(X)= {(X^n)(1-X)^n} over {n!}

a. quel est l'ordre de multiplicité de la racine 0? Que peut-on en déduire?
... et autres questions, mais on va d'abord commencer par le début! :doh:

et est le plus grand entier tel que , donc la racine 0 est de multiplicité n

PS: connaissez-vous un logiciel ou autre pour écrire en formule mathématique qui soit facile d'utilisation pour rendre ce que j'écris plus facile à lire?

Tu peux écrire en latex http://www.maths-forum.com/ecrire-belles-formules-mathematiques-balises-tex-70548.php

[cpS]

D'accord merci. Ensuite, en me dit qu'en écrivant la formule de Taylor pour le polynôme Pn , je dois montrer que:




(n+k) étant des ordres de dérivée.

Pouvez-vous m'indiquer comment faire svp? Merci d'avance