Extremum en a et f'(a)

[coco7513]

Bonsoir,

Je voudrais savoir si cette propriété est toujours vrai :

"Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle ouvert I et a un réel de I.
Si il existe un unique a appartenant à I tel que f' s'annule en a en changeant de signe
alors f(a) est un extremum de f sur I."

Je sais que si on enlève l'unicité, ça ne marche pas, mais est ce que celui - ci est vrai pour autant?

Merci d'avance pour vos réponses.

[Pseuda]

Bonsoir,

A priori je dirais que l'unicité n'est pas nécessaire. Par exemple, f est croissante avant a, puis décroissante après a, cela fait bien un maximum local, mais évidemment pas global.

[acteon]

Bonjour, je pense que le caractère C^1 est important, c'est-à-dire la continuité de la dérivée, sinon on devrait pouvoir construire des contre-exemple avec f' qui change de signe sans s'annuler etc...

[pascal16]

"Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle ouvert I et a un réel de I.
Si il existe un unique a appartenant à I tel que f' s'annule en a en changeant de signe
alors f(a) est un extremum de f sur I."

Cette leçon doit différencier extremum = extremun GLOBAL et extremum local.
Ici, on parle d'extremum global contrairement aux leçons de seconde au lycée.
si f' s'annule pour 3 abscisses, forcément l'un d'entre eux n'est pas un extremum global.

Les autres conditions :
si c'est un fermé, il faut étudier en plus les valeurs aux bornes.
si c'est un intervalle, il faut étudier en plus les valeurs aux bornes du coté fermé s'il existe
si c'est pas un intervalle ou pas un convexe, on peut rien dire tellement il y a de cas possibles.
le "défini" pourrait être enlevé, car dérivable implique continue implique définie, c'est plutot un rappel.
dérivable : obligatoire car sinon, on oublierait une partie de la fonction
le unique : c'est pour un extremum global
le 'en changeant de signe' : cf fonction x-> x^3